Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Domwow |
| Aufgabe | Es sei w die durch W: [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm] -> [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm], W:[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm], W: [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm], W:[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] definierte lineare Abbildung [mm]R^4[/mm] -> [mm]R^4[/mm] und WM die (bezüglich der Standard-Basen in Urbild- und Bildraum) zugehörige Matrix. Bewerten Sie dazu folgende Aussage:
- WM ist diagonalisierbar |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag!
Ich habe mir zunächst die Matrix WM gebildet:
[mm]\begin{pmatrix}
0 & 1&0&0 \\
1 &0&0&0\\
0&0&1&1\\
0&0&-1&-1
\end{pmatrix}[/mm].
Dann hab ich die Eigenwerte berechnet (0,0,1,-1) und geschaut, wie die geoemtrischen Vielfachheiten aussehen. Zum doppelten Eigenwert 0 gibt es jetzt allerdings nur die geometrische Vielfachheit 1, so dass [mm] \alpha(0)\not=\gamma(0) [/mm] ist, wonach die Matrix nicht diagonalisierbar wäre, was sie aber laut Lösung ist. Ich sehe meinen Fehler einfach nicht!
Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße!
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> Es sei w die durch W: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
> -> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm],
> W:[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}[/mm] ->
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm], W:
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] ->
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm],
> W:[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] ->
> [mm]\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] definierte
> lineare Abbildung [mm]R^4[/mm] -> [mm]R^4[/mm] und WM die (bezüglich der
> Standard-Basen in Urbild- und Bildraum) zugehörige Matrix.
> Bewerten Sie dazu folgende Aussage:
>
>
> - WM ist diagonalisierbar
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Tag!
> Ich habe mir zunächst die Matrix WM gebildet:
Hallo,
nein, Deine Matrix ist nicht die, die Du untersuchen sollst.
Deine Matrix ist die darstellende Matrix der Abbildung w bzgl der Basis [mm] B=(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\1 \end{pmatrix}) [/mm] im Urbildraum und der Standardbasis im Bildraum.
Fürs charakteristische Polynom und Eigenwerte braucht man aber in beiden Räumen dieselbe Basis.
(Hatten wir das nicht neulich schon in sehr ähnlicher Weise?)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Domwow |
Also ist wieder w(b1)=b2, w(b2)=(b1), w(b3)=-b4 und w(b4)=-b4?
Dann würde ich ja folgende Matrix erhalten:
[mm]\begin{pmatrix}
0 & 1&0&0 \\
1 & 0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&-1&-1
\end{pmatrix}[/mm]
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Hallo,
ja, das wäre dann die Abbildungsmatrix bzg. der Basis B in urbild- und Bildraum.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Sa 29.08.2009 | | Autor: | Domwow |
Okay, so langsam prägt sich das mit den Abbildungsmatrizen bei mir ein!
Vielen Dank noch einmal!
Gruß Dom.
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