Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass jede reelle Matrix A mit [mm] A^2=E, [/mm] wobei E die Einheitsmatrix ist diagonalisierbar ist. |
Ich komme bei dem Beweis nicht weiter. Soweit bin ich.
A ist diagonalisierbar [mm] \gdw\exists [/mm] S [mm] \in [/mm] GL(n,R) : D = [mm] SAS^{-1} [/mm] wobei D Diagonalmatrix ist
[mm] A^2=E [/mm] folgt [mm] A=A^{-1}
[/mm]
S [mm] \in [/mm] GL(n,R)
[mm] E=AA=SAS^{-1}SAS^{-1}
[/mm]
also
[mm] A=SAS^{-1}
[/mm]
Somit ist A diagonalisierbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen sie, dass jede reelle Matrix A mit [mm]A^2=E,[/mm] wobei E
> die Einheitsmatrix ist diagonalisierbar ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Steht Euch die Jordannormalform schon zur Verfügung?
Gruß v. Angela
> Ich komme bei dem Beweis nicht weiter. Soweit bin ich.
> A ist diagonalisierbar [mm]\gdw\exists[/mm] S [mm]\in[/mm] GL(n,R) : D =
> [mm]SAS^{-1}[/mm] wobei D Diagonalmatrix ist
>
> [mm]A^2=E[/mm] folgt [mm]A=A^{-1}[/mm]
>
> S [mm]\in[/mm] GL(n,R)
>
> [mm]E=AA=SAS^{-1}SAS^{-1}[/mm]
>
> also
>
> [mm]A=SAS^{-1}[/mm]
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> Somit ist A diagonalisierbar
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Zeigen sie, dass jede reelle Matrix A mit [mm]A^2=E,[/mm] wobei E
> die Einheitsmatrix ist diagonalisierbar ist.
Hallo,
wenn Ihr den Zusammenhang von Diagonalisierbarkeit und Minimalpolynom hattet, dann solltest Du hier über das Minimalpolynom nachdenken.
Gruß v. Angela
> Ich komme bei dem Beweis nicht weiter. Soweit bin ich.
> A ist diagonalisierbar [mm]\gdw\exists[/mm] S [mm]\in[/mm] GL(n,R) : D =
> [mm]SAS^{-1}[/mm] wobei D Diagonalmatrix ist
>
> [mm]A^2=E[/mm] folgt [mm]A=A^{-1}[/mm]
>
> S [mm]\in[/mm] GL(n,R)
>
> [mm]E=AA=SAS^{-1}SAS^{-1}[/mm]
>
> also
>
> [mm]A=SAS^{-1}[/mm]
>
> Somit ist A diagonalisierbar
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