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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 Di 05.07.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hallo, ich habe eine weitere Aufgabe zur Diagonalisierbarkeit und komme ab einem bestimmten Punkt nicht weiter. Ich soll untersuchen, ob die Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 \\ -2 & -2 & -6 \\ 1 & 2 & 5 } [/mm] diagonalisierbar ist. Ich habe als erstes das characteristische Polynom bestimmt: [mm] (2-\lambda)^{2}(2-2\lambda) [/mm] und erhalte somit die Eigenwerte [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] mit den geometrischen Vielfachheiten 2 und 1. So, jetzt könnte ich ja sagen, die Summe der geometrischen Vielfachheiten ist 3 und stimmt mit n überein -> Es gibt also eine Basis aus 3 Eigenvektoren -> die Matrix ist diagonalisierbar. Ist das soweit richtig? Wenn ich jetzt das LGS für [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] aufstelle, komme ich jedoch nur auf einen Eigenvektor und zwar [mm] x=\vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Wie bekomme ich den zweiten dazugehörigen Vektor heraus? Oder mache ich hier etwas ganz falsches und muss die Aufgabe ganz anders angehen?
Liebe Grüße, Phoebe
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Bonjour!
Also, vorausgesetzt deine Berechnung des char. Poly. stimmt (wovon ich jetzt einfach einmal ausgehe  ) - auf welcher Grundlage triffst du deine Aussage über die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 2? Unmittelbar am Polynom (bzw. am Exponenten des jeweiligen Terms) kannst du "nur" die algebraische Vielfachheit ablesen, welche für den Eigenwert 2 (wie du richtig erkannt hast) offenbar 2 ist.
Die Tatsache, dass du nur einen Eigenvektor zum Eigenwert 2 findest, spricht eher dafür, dass die geometrische Vielfachheit des EWs 1 ist [mm] (\nu_{alg.} [/mm] >= [mm] \nu_{geom.}).
[/mm]
Gut, dies ändert jetzt aber nichts an deinem eigentlichen Problem - du benötigst zum Aufstellen deiner Diagonalisierungsmatrix drei (Spalten)Vektoren, bekommst aber unmittelbar durch die Eigenwerte/Eigenvektoren offenbar nur zwei.
Der dritte von dir gesuchte Vektor dürfte damit ein sog. "Hauptvektor" (in diesem Fall 1. Stufe) sein, hier konkret ein Hauptvektor zum Eigenwert 2 (da für diesen, bei [mm] \nu_{alg.}=2, [/mm] nur [mm] \nu_{geom.}=1 [/mm] gilt).
Diesen findest du ähnlich einem Eigenvektor, genauer gilt:
(A - [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{n}) [/mm] * [mm] \vec{h} [/mm] = [mm] \vec{x} [/mm] (mit [mm] E_{n} [/mm] ist Einheitsmatrix der Dim. n, [mm] \vec{h} [/mm] ist der gesuchte Hauptvektor, [mm] \vec{x} [/mm] der Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda).
[/mm]
In deinem konkreten Beispielfall also (A - 2 * [mm] E_{3}) [/mm] * [mm] \vec{h} [/mm] = [mm] \vec{x}.
[/mm]
Tja, und den Ergebnisvektor des Ganzen solltest du dann als dritten Spaltenvektor deiner Diagonalisierungsmatrix verwenden können, sodass am Ende jedenfalls (insofern keine ganz "reinrassige" Diagonalmatrix mit Einträgen nur und ausschließlich auf der Hauptdiagonalen) auf jeden Fall eine Jordannormalenform entsteht.
Au revoir!
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>Ich habe als erstes das
> characteristische Polynom bestimmt:
> [mm](2-\lambda)^{2}(2-2\lambda)[/mm] und erhalte somit die
> Eigenwerte [mm]\lambda_{1}=2[/mm] und [mm]\lambda_{2}=1[/mm] mit den
> geometrischen Vielfachheiten 2 und 1.
Hallo Phoebe,
es sind zunächst mal die algebraischen Vielfachheiten. Aus denen kannst Du nicht unbedingt auf die Dimension der zugehörigen Eigenräume schließen. (Dazu kannst Du meinen noch recht frischen Beitag zu einem anderen Diagonalisierungsproblenm lesen, möglicherweise war es sogar auch Deins.)
> Es gibt also eine Basis aus 3
> Eigenvektoren -> die Matrix ist diagonalisierbar. Ist das
> soweit richtig?
WENN Du so eine Basis hättest, wäre es richtig. Aber Du hast sie nicht, weil der Eigenraum zum EW 2 nur die Dimension 1 hat.
Also ist die Matrix eben nicht diagonalisierbar, und Du bist fertig.
Noch eines: die Dimension des Eigenraumes kannst Du am Rang der Matrix
A- [mm] \lambda [/mm] E ablesen. Die Anzahl der "Nullzeilen", die Du Dir erzeugen kannst. Da weißt Du dann, ob es Sinn macht, noch weiter zu suchen...
Alles beantwortet jetzt?
Gruß v. Angela
P.S.: Ich habe Deine Matrix nicht nachgerechnet!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 05.07.2005 | | Autor: | Phoebe |
Es sind die algebraischen Vielfachheiten? Ich glaube, dann habe ich hier einen ganz schönen Denkfehler. Ich dachte, die geometrischen Vielfachheiten sind die Anzahl, wie oft ein bestimmter Eigenwert vorkommt... Also, sind das die algebraischen Vielfachheiten? Und was sind dann die geometrischen?
Ok, das mit der Dimension klingt einleuchtend. Danke =)
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> Es sind die algebraischen Vielfachheiten?
Ja. In meiner Vorlesung hieß das auch "Ordnung des Eigenwertes".
>...geometrische Vielfachheit...
DAS ist die Dimension des Eigenraumes.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Di 05.07.2005 | | Autor: | jeu_blanc |
Salut!
> Also ist die Matrix eben nicht diagonalisierbar, und Du
> bist fertig.
Das kommt auf die Definition von "diagonalisierbar" an - wie gesagt, eine JNF findet man über die Hinzunahme der Hauptvektoren zu den Eigenvektoren innerhalb der Diagonalisierungsmatrix, eine "reine" Diagonalform (Einträge ausschließlich auf der Hauptdiagonalen) jedoch nicht unbedingt (vgl. auch mein vorheriges Posting).
Au revoir!
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