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Hallo zusammen,
es geht um Diagonalsierbarkeit. Ihr kennt sicherlich alle die Formel:
[mm] S^{-1}AS=D [/mm] wobei D die Spur der Eigenwerte ist.
Meine Frage nun: Wenn man die Matrix S aus den Eigenvektoren bildet, wann gilt für die Matrix S: [mm] S^{-1}=S^{t} [/mm] ?
Beste Grüße
Kano
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Do 21.07.2011 | | Autor: | JigoroKano |
ich meine übrigens nicht die Spur die die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen und der Rest sind Nullen.
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moin,
http://de.wikipedia.org/wiki/Spektralsatz
Den schonmal gesehen?^^
edit: Ich seh grad leider folgendes: Laut Spektralsatz gibt es für normale Matrizen (bzw. im reelen für symetrische) entsprechende Matrizen, die deine Bedingung erfüllen, leider sind das aber i.A. nicht die Matrizen aus den Eigenvektoren...
Also normale und symetrische Matrizen kannst du so diagonalisieren, aber nicht immer mit S bestehend aus Eigenvektoren...
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Ok, danke.
Aber Ich frage mal anders: Ich bin gerade dabei Quadriken zu berechnen und da braucht man das ja Sachen auf Diagonalgestalt zu bringen.
Jetzt hatte ich eben eine Matrix S bei der [mm] S^{-1}=S^{t} [/mm] war. In meiner zweiten Aufgaben hatte ich eine Matrix bei der [mm] S^{-1} \not= S^{t} [/mm] war.
Zuerst hatte ich gedacht, dass evtl soetwas gilt: S [mm] \in O_{2} \Rightarrow S^{-1} [/mm] = [mm] S^{t} [/mm] aber leider hat das im zweiten Beispiel schon nicht mehr Funktioniert. Daher: gibt es eine Aussage die [mm] S^{-1} [/mm] = [mm] S^{t} [/mm] impliziert? oder vllt eine Äquivalenzaussage?
Beste Grüße
Kano
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Do 21.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Kano,
> Aber Ich frage mal anders: Ich bin gerade dabei Quadriken
> zu berechnen und da braucht man das ja Sachen auf
> Diagonalgestalt zu bringen.
Es haengt davon ab, was du hier genau willst. Wenn du orthogonal (bzw. unitaer) diagonalisieren willst, muss [mm] $S^{-1} [/mm] = [mm] S^t$ [/mm] sein. Wenn du einfach nur diagonalisieren willst, dann muss dies nicht gelten.
Da es um Quadriken bzw. quadratische Formen geht, will man normalerweise [mm] $S^t [/mm] A S$ schreiben und nicht [mm] $S^{-1} [/mm] A S$; wenn man also die Diagonalisierung von $A$ haben will, muss man $S$ orthogonal waehlen. Andernfalls weiss man nur, wieviele positive, negative bzw. Nullen es auf der Diagonalen gibt, und mehr nicht.
> Jetzt hatte ich eben eine Matrix S bei der [mm]S^{-1}=S^{t}[/mm]
> war. In meiner zweiten Aufgaben hatte ich eine Matrix bei
> der [mm]S^{-1} \not= S^{t}[/mm] war.
> Zuerst hatte ich gedacht, dass evtl soetwas gilt: S [mm]\in O_{2} \Rightarrow S^{-1}[/mm]
> = [mm]S^{t}[/mm]
Es gilt sogar $S [mm] \in O_2 \Leftrightarrow S^{-1} [/mm] = [mm] S^t$.
[/mm]
> aber leider hat das im zweiten Beispiel schon nicht
> mehr Funktioniert.
Vermutlich weil dort nicht orthogonal diagonalisiert wird.
> Daher: gibt es eine Aussage die [mm]S^{-1}[/mm] =
> [mm]S^{t}[/mm] impliziert? oder vllt eine Äquivalenzaussage?
LG Felix
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Hey,
cool danke das hilft mir sehr weiter. Dennoch stutze ich an einer konkreten Sache:
Sei S= [mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 1 & -3 \\ 3 & 1 } [/mm] eine normierte Orthogonalmartix.
Aber [mm] S^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} \pmat{ 1 & 3 \\ -3 & 1 } \not= S^{t}
[/mm]
oder hab ich nen knoten vor lauter zahlen im kopf?! :-D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Do 21.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> cool danke das hilft mir sehr weiter. Dennoch stutze ich an
> einer konkreten Sache:
>
> Sei S= [mm]\bruch{1}{2} \pmat{ 1 & -3 \\ 3 & 1 }[/mm] eine normierte
> Orthogonalmartix.
Nein, eben nicht. Das ist keine orthogonale Matrix. Die Spalten haben naemlich nicht die Laenge 1.
LG Felix
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Ahhhh sehr cool. Jetzt fällt es mir wie schuppen von den augen.
aber mir dringt sich die Frage auf, was passiert denn beim normieren von Vektoren, wenn die da nicht auf die Länge 1 gebracht?
nehmen wir mal den ersten Vektor: V1= [mm] \vektor{1 \\ 3}
[/mm]
den normiert ergibt: [mm] \bruch{V_{1}}{ \parallel V_{1} \parallel} [/mm] = [mm] \bruch{V_{1}}{\wurzel{3^{2} + 1^{1}}}
[/mm]
ok ich hab mich einfach nur verrechnet :D :D :D
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Hallo JK,
> Ahhhh sehr cool. Jetzt fällt es mir wie schuppen von den
> augen.
>
> aber mir dringt sich die Frage auf, was passiert denn beim
> normieren von Vektoren, wenn die da nicht auf die Länge 1
> gebracht?
Diesen Satz (?) oder besser diese Zeichenfolge verstehe, wer will ...
Wenn du einen Vektor normierst, hat er doch die Länge 1
>
> nehmen wir mal den ersten Vektor: V1= [mm]\vektor{1 \\
3}[/mm]
> den
> normiert ergibt: [mm]\bruch{V_{1}}{ \parallel V_{1} \parallel}[/mm]
> = [mm]\bruch{V_{1}}{\wurzel{3^{2} + 1^{1}}}[/mm]
[mm]\frac{v_1}{||v_1||}=\frac{v_1}{\sqrt{1^{\red{2}}+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot{}v_1[/mm]
>
> ok ich hab mich einfach nur verrechnet :D :D :D
Nein, das passt schon, du hast dich wohl bei [mm]1^1[/mm] nur verschrieben (wobei das hier im Ergebnis egal ist)
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Do 21.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> http://de.wikipedia.org/wiki/Spektralsatz
>
> Den schonmal gesehen?^^
>
> edit: Ich seh grad leider folgendes: Laut Spektralsatz gibt
> es für normale Matrizen (bzw. im reelen für symetrische)
> entsprechende Matrizen, die deine Bedingung erfüllen,
> leider sind das aber i.A. nicht die Matrizen aus den
> Eigenvektoren...
>
> Also normale und symetrische Matrizen kannst du so
> diagonalisieren, aber nicht immer mit S bestehend aus
> Eigenvektoren...
Das stimmt nicht ganz: wenn $S$ besteht dann sehr wohl aus Eigenvektoren. Allerdings kann man nicht jede Matrix $S$ nehmen, die aus Eigenvektoren besteht. Die Matrix $S$ muss unitaer (bzw. orthogonal im reellen) sein, die Spalten bilden also eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren.
LG Felix
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