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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Do 09.02.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & a \\ 1 & -1 }\in (2x2,\IR). [/mm] Für welche Werte [mm] a\in\IR [/mm] ist A:
nicht diagonalisierbar, aber triagonalisierbar? |
Hallo Kinder,
also ich rechne mal vor: [mm] det\pmat{ 1-\lambda & a \\ 1 & -1-\lambda }=(1-\lambda)(-1-\lambda)-a=\lambda^2-1-a
[/mm]
[mm] \lambda^2=\wurzel{a+1}
[/mm]
a=-1, so gibt es nur eine Lösung,sogar eine Doppelte. Sie ist auf jedenfall Triagonalisierbar (so hab ich es in der Übung abgeschrieben). Ja nun kommt die Frage: Aber warum? Ich habe gedacht das Kriterium für Triagonalisierbarkeit wäre, dass sich das Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt?
Da ich eine doppelte Nullstelle dort habe und meine geometrische Vielfachheit nur 1 ist, ist sie nicht diagonalisierbar.
Ich danke!!
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Hallo durden88,
> Gegeben sei die Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & a \\ 1 & -1 }\in (2x2,\IR).[/mm]
> Für welche Werte [mm]a\in\IR[/mm] ist A:
> nicht diagonalisierbar, aber triagonalisierbar?
> Hallo Kinder,
>
> also ich rechne mal vor: [mm]det\pmat{ 1-\lambda & a \\ 1 & -1-\lambda }=(1-\lambda)(-1-\lambda)-a=\lambda^2-1-a[/mm]
>
> [mm]\lambda^2=\wurzel{a+1}[/mm]
>
> a=-1, so gibt es nur eine Lösung,sogar eine Doppelte. Sie
> ist auf jedenfall Triagonalisierbar (so hab ich es in der
> Übung abgeschrieben). Ja nun kommt die Frage: Aber warum?
> Ich habe gedacht das Kriterium für Triagonalisierbarkeit
> wäre, dass sich das Polynom vollständig in Linearfaktoren
> zerlegen lässt?
>
Das ist auch richtig.
Hier zerfällt das charakteristische Polynom über [mm]\IR[/mm] in Linearfaktoren.
> Da ich eine doppelte Nullstelle dort habe und meine
> geometrische Vielfachheit nur 1 ist, ist sie nicht
> diagonalisierbar.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich danke!!
Gruss
MathePower
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