Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Do 14.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
| Aufgabe | Sei $ V $ eine $ [mm] \mathbb{R} [/mm] $ Vektorraum mit $ [mm] \dim{V} [/mm] = n $ und $ [mm] \left{ v_{1}, \dots , v_{n} \right}$ [/mm] Basis. Untersuchen sie welche f diagonalisierbar sind :
(i) $ [mm] f(v_j [/mm] ) = [mm] v_j [/mm] + [mm] v_{j+1}$
[/mm]
(ii) $ [mm] f(v_j) [/mm] = [mm] jv_j [/mm] + [mm] v_{j+1} [/mm] $
$ j = 1, [mm] \dots [/mm] , n-1 $ |
Als Abbildungsmatrizzen kommen bei mir bei (i) eine untere Dreiecksmatrix mit 1en auf der Diagonalen sowie 1en auf der Nebendiagonalen, bei (ii) eine untere Dreiecksmatrix mit 1en auf der Nebendiagonalen und 1-n auf Diagonalen raus.
Dann ist doch die erste Matrix nicht diagonalisierbar, weil das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen Eigenwerten zerfällt und die zweite Matrix doch, weil sie genau das tut?
Hab ich diesen Satz richtig verstanden oder könnte mir ihn sonst jemand nocheinmal richtig erklären?
Vielen Dank schoneinmal im voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]V[/mm] eine [mm]\mathbb{R}[/mm] Vektorraum mit [mm]\dim{V} = n[/mm] und [mm]\left{ v_{1}, \dots , v_{n} \right}[/mm]
> Basis. Untersuchen sie welche f diagonalisierbar sind :
> (i) [mm]f(v_j ) = v_j + v_{j+1}[/mm]
> (ii) [mm]f(v_j) = jv_j + v_{j+1}[/mm]
> [mm]j = 1, \dots , n-1[/mm]
Hallo,
verrätst Du uns auch, in beiden Fällen [mm] f(v_n) [/mm] sein soll?
Das müßte man ja wissen, wenn man die Abbildungsmatrix aufstellen möchte, bzw. entscheiden soll, ob Deine richtig ist.
Auf jedem Fall gibt es ein Mißverständnis:
wenn eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix n paarweise verschiedene Eigenwerte hat, folgt,daß die Matrix diagonalisierbar ist.
Das stimmt,
besagt aber nicht, daß wenn die Eigenwerte nicht pw verschieden sind, die Matrix nicht diagonalisierbar ist.
LG Angela
> Als Abbildungsmatrizzen kommen bei mir
> bei (i) eine untere Dreiecksmatrix mit 1en auf der
> Diagonalen sowie 1en auf der Nebendiagonalen, bei (ii) eine
> untere Dreiecksmatrix mit 1en auf der Nebendiagonalen und
> 1-n auf Diagonalen raus.
> Dann ist doch die erste Matrix nicht diagonalisierbar, weil
> das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren mit
> paarweise verschiedenen Eigenwerten zerfällt und die
> zweite Matrix doch, weil sie genau das tut?
> Hab ich diesen Satz richtig verstanden oder könnte mir
> ihn sonst jemand nocheinmal richtig erklären?
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> Vielen Dank schoneinmal im voraus!!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 14.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Hab das erst in der falschen Diskussion gesendet:
(i): $ f(v_ n) = [mm] v_n [/mm] $
(ii): $ f(v_ n) = [mm] nv_n [/mm] $
So ergibt das natürlich erst Sinn. Ich dachte, dass ist eine genau dann wenn Aussage und damit wäre auch der umgekehrte Fall gegeben. Aber die zweite Abbildung ist ja dann auf jeden Fall diagonalisierbar.
Danke für die schnelle Antwort!
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> Hab das erst in der falschen Diskussion gesendet:
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> (i): [mm]f(v_ n) = v_n[/mm]
> (ii): [mm]f(v_ n) = nv_n[/mm]
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> So ergibt das natürlich erst Sinn. Ich dachte, dass ist
> eine genau dann wenn Aussage und damit wäre auch der
> umgekehrte Fall gegeben. Aber die zweite Abbildung ist ja
> dann auf jeden Fall diagonalisierbar.
Hallo,
ja, genau.
LG Angela
> Danke für die schnelle Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Ok, danke für die Hilfe!
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