Diagonalisierbarkeit I < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Fry |
Aufgabe: Wann ist die [mm] Matrix\pmat{ -3 & 0 \\ 2 & a } [/mm] diagonalisierbar ?
Irgendwie steh ich bei dieser Aufgabe auf´m Schlauch...
Mein Ansatz:
[mm] P_{A}(x) [/mm] = (-3-x) (a-x)
-3 und a sind Eigenwerte
[mm] \pmat{ -3 & 0 \\ 2 & a } [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2} [/mm] = a* [mm] \vektor{x1 \\ x2}
[/mm]
=> [mm] \pmat{ -3-a & 0 \\ 2 & a-a }
[/mm]
=> [mm] \pmat{ -3-a & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
ist A dann für a= -3 diagonalisierbar ? oder wie mach ich das ?
Danke für eure Hilfe im Voraus.
Noch eine Frage:
Angenommen, ich würde zu einem Eigenwert c den Nullvektor finden, dann müsste es doch noch einen anderen Eigenvektor geben. Wie finde ich den ?
Grüße
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Fry!
> Aufgabe: Wann ist die [mm]Matrix\pmat{ -3 & 0 \\ 2 & a }[/mm]
> diagonalisierbar ?
>
> Irgendwie steh ich bei dieser Aufgabe auf´m Schlauch...
> Mein Ansatz:
> [mm]P_{A}(x)[/mm] = (-3-x) (a-x)
>
> -3 und a sind Eigenwerte
>
> [mm]\pmat{ -3 & 0 \\ 2 & a }[/mm] * [mm]\vektor{x1 \\ x2}[/mm] = a*
> [mm]\vektor{x1 \\ x2}[/mm]
>
> => [mm]\pmat{ -3-a & 0 \\ 2 & a-a }[/mm]
> => [mm]\pmat{ -3-a & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> ist A dann für a= -3 diagonalisierbar ? oder wie mach ich
> das ?
> Danke für eure Hilfe im Voraus.
>
> Grüße
> Fry
Es gilt: Zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren und sind alle Eigenwere voneinander verschieden, so ist die Matrix diagonalisierbar. Also ist die Matrix schonmal für jedes a ausser a=-3 diagonalisierbar.
Bleibt der Fall a=-3 zu btrachten. Hier musst du schauen, welche Dimension der Eigenraum besitzt... Die algebraische Vielfachheit ist 2, also muss für die Diagonalisierbarkeit die geomatrische Vielfachheit (=Dimension des Eigenraumes) auch 2 sein.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Fry |
Danke Micha,
die Dimension des Eigenraums ,also des dim (ker (A-a*E)) ist 1, oder ?Für a = -3 ist Matrix also nicht diagonalisierbar.
Kannst du dir vielleicht auch noch die andere Frage aus meinem ersten Posting ansehen ?
Thx,
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal!
Also wenn du Dimension des Eigenraumes über [mm] $Ker(A-\lambda [/mm] E)$ bestimmst, dann erhälst du genau die entsprechenden Eigenvektoren. Kommt bei der Kernbestimmung z.B. heraus, dass es der Span von einem Vektor ist, dann ist der Vektor (oder ein Vielfaches davon) dein Egenvektor!
Hoffe die Frage ist damit beantwortet!
Gruß Micha
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