Diagonalisierbarkeit Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Do 04.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Hab mal ne Frage zur Diagonaliserbarkeit von Matrizen:
Wenn ich eine Matrix auf Diagonaliserbarkeit überprüfen soll, gehe ich folgendermaßen vor:
Ich berechne das charakteristische Polynom und daraus folgend die Eigenwerte der Matrix.
Nun gilt ja, dass die Matrix diagonalisierbar ist, wenn die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen ist, dass die Matrix diagonalisierbar ist. Im Falle dass die geometrische VFH kleiner als die algebraische Vielfachheit ist, ist sie nicht mehr diagonaliserbar.
Okay, soweit so gut.
Meine Frage nun: Eine Matrix kann ja durchaus mehrerer Eigenwerte besitzen  Infolgedessen auch mehrere Eigenräume zu den jeweiligen Eigenwerten.
Tritt nun der Fall ein, dass für einen Eigenwert der Matrix die geom. VFH gleich der algebr. VFH ist für einen anderen Eigenwert die geom. VFH echt kleiner als die algebr. VFH, ist die Matrix dann diagonalieserbar???
Ich hoffe dass ich einigermaßen verständlich geschrieben habe! Vielleicht hab ich auch irgendwo einen Verständnisfehler!
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Do 04.05.2006 | | Autor: | Ashvini |
Hallo Kübi!
Es ist schon möglich, dass dieser Fall auftritt.
Jede Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn die algebraische Vielfachheit zum einem Eigenwert [mm] \lambda_{i} [/mm] gleich der geometrischen Vielfachheit ist, für alle i! Das heißt, wenn man zwei Eigenwerte hat, muss bei jedem dieser zwei Eigenwerte die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit sein. Falls es bei einem Eigenwert nicht der Fall sein sollte, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar!
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen!
Lg,
Ashvini
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