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| Aufgabe | Hallo, ich habe eine lebenswichtige Aufgabe abzugeben morgen und klemme irgendwie an einer Stelle. Die Aufgabe lautet:
Gegeben sei eine Matrix A [mm] \in \mathbb C^{3,3} [/mm] von der folgendes bekannt ist:
A [mm] \pmat{-1 & -2 & -1 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0& -1 } [/mm] = [mm] \pmat{ -2 & -4 & 3 \\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 3}
[/mm]
a) Bestimme alle Eigenwerte von A und die dazu gehörigen Eigenräume.
b) Begründe, dass A diagonalisierbar ist und gebe eine invertierbare Matrix S [mm] \in \mathbb C^{3,3} [/mm] sowie eine Diagonalmatrix D [mm] \in \mathbb C^{3,3} [/mm] an, so dass gilt [mm] A=SDS^{-1}
[/mm]
c) Berechne [mm] e^A. [/mm] |
Ich bekomme dann für [mm] A=\pmat{2 & 0 & -5 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & -3 } [/mm] .
Und mit dem charakteristische Polynom rechne ich [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=3 [/mm] aus. Aber dann ist mir, obwohl ich unseren Skript zu oft durlas, doch nicht klar, wie man auf die Eigenräume kommt. Wir hatten einen Algorithmus, wie wir den Kern bestimmen können, aber irgendwie komme ich nicht drauf.
Meine Frage wäre dann,ob meine Eigenwerte 2 und -3 richtig sind und wie ich auf die Eigenräume komme?
Ich bin euch allen dankbar im Voraus!
Gruß Ventsi
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Hallo simetchiev,
> Hallo, ich habe eine lebenswichtige Aufgabe abzugeben
> morgen und klemme irgendwie an einer Stelle. Die Aufgabe
> lautet:
>
> Gegeben sei eine Matrix A [mm]\in \mathbb C^{3,3}[/mm] von der
> folgendes bekannt ist:
>
>
> A [mm]\pmat{-1 & -2 & -1 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0& -1 }[/mm] = [mm]\pmat{ -2 & -4 & 3 \\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 3}[/mm]
>
> a) Bestimme alle Eigenwerte von A und die dazu gehörigen
> Eigenräume.
> b) Begründe, dass A diagonalisierbar ist und gebe eine
> invertierbare Matrix S [mm]\in \mathbb C^{3,3}[/mm] sowie eine
> Diagonalmatrix D [mm]\in \mathbb C^{3,3}[/mm] an, so dass gilt
> [mm]A=SDS^{-1}[/mm]
> c) Berechne [mm]e^A.[/mm]
> Ich bekomme dann für [mm]A=\pmat{2 & 0 & -5 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & -3 }[/mm]
> .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und mit dem charakteristische Polynom rechne ich
> [mm]\lambda_{1}=2[/mm] und [mm]\lambda_{2}=3[/mm] aus. Aber dann ist mir,
> obwohl ich unseren Skript zu oft durlas, doch nicht klar,
> wie man auf die Eigenräume kommt. Wir hatten einen
> Algorithmus, wie wir den Kern bestimmen können, aber
> irgendwie komme ich nicht drauf.
>
> Meine Frage wäre dann,ob meine Eigenwerte 2 und -3 richtig
> sind und wie ich auf die Eigenräume komme?
>
Die Eigenwerte sind richtig.
Für Bestimmung der Eigenräume bestimmst Du für
jeden Eigenwert [mm]\lambda[/mm] eine nichttriviale Lösung des Gleichungssystems
[mm]\left(A-\lambda*E\right)\vec{x}=\vec{0}[/mm]
, wobei E die Einheitsmatrix des [mm]\IR^{3}[/mm]
und [mm]\vec{x}[/mm] ein Vektor des [mm]\IR^{3}[/mm]
sowie [mm]\vec{0}[/mm] der Nullvektor des [mm]\IR^{3}[/mm] bedeuten.
> Ich bin euch allen dankbar im Voraus!
>
> Gruß Ventsi
>
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Gruss
MathePower
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