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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Do 04.05.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Ich hab folgendes Problem:
Ich habe eine diagonalisierbare Matrix A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] mit nicht-negativen Eigenwerten gegeben und soll nun zeigen, dass es eine Matrix T gibt, sodass gilt [mm] T^{2}=A. [/mm]
Ich habe nun versucht, mir das erst einmal an einem Beispiel klar zu machen
[mm] A=\pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 9 }
[/mm]
Wie kann ich denn nun überhaupt so ein T berechnen?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Do 04.05.2006 | | Autor: | choosy |
Hallo erstmal,
wenn deine matrix diagonalisierbar ist, dann sei sie o.b.d.a. diagonal
(wir betrachten sie bzgl der entsprechenden basis)
hat $A$ auf der diagonalen die werte [mm] $\lambda_1...\lambda_n$, [/mm] so ist
[mm] $T=diag(\sqrt{\lambda_1}...\sqrt{\lambda_n})$ [/mm] (also eine diagonal matrix mit wurzel... auf der diagonalen)
eine matrix mit
[mm] $T^2=A$
[/mm]
die wurzeln darf ich ziehen da die lambda-i die eigenwerte von $A$ sind, also positiv
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Do 04.05.2006 | | Autor: | Franzie |
Danke, jetzt ist mir klar, warum das so ist bei einer Diagonalmatrix. Aber was ist, wenn meine Matrix die Gestalt so nach Art meiner Matrix A hat, wo eben über den Eigenwerten in der Hauptdiagonale keine Nullen stehen. Wie kann ich denn dann das T berechnen?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Do 04.05.2006 | | Autor: | choosy |
so eine matrix wie deine ist irrelevant, da eine diagonalisierbare matrix
o.b.d.a. als diagonal angenommen werden kann. falls deine beispielmatrix diagonalisierbar ist, musst du eine basis $B$ bestimmen bezüglich derer deine matrix diagonalform hat. dann bekommst du einen basiswechsel
$F$ von deiner Basis nach B
nun kannst du wie gesagt ein T finden mit
[mm] $T^2 [/mm] = [mm] FAF^{-1}$, [/mm] da [mm] $FAF^{-1}$ [/mm] eine diagonalmatrix ist. nun kommst du wieder zu deiner ursprünglichen abbildung:
[mm] $A=F^{-1}T^2F=F^{-1}T (FF^{-1})TF [/mm] = [mm] (F^{-1}TF)^2$
[/mm]
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