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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Diagonalisieren
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Diagonalisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Do 04.05.2006
Autor: Franzie

Hallöchen!
Ich hab folgendes Problem:
Ich habe eine diagonalisierbare Matrix  A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] mit nicht-negativen Eigenwerten gegeben und soll nun zeigen, dass es eine Matrix T gibt, sodass gilt [mm] T^{2}=A. [/mm]
Ich habe nun versucht, mir das erst einmal an einem Beispiel klar zu machen

[mm] A=\pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 9 } [/mm]
Wie kann ich denn nun überhaupt so ein T berechnen?

liebe Grüße

        
Bezug
Diagonalisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Do 04.05.2006
Autor: choosy

Hallo erstmal,

wenn deine matrix diagonalisierbar ist, dann sei sie o.b.d.a. diagonal
(wir betrachten sie bzgl der entsprechenden basis)
hat $A$ auf der diagonalen die werte [mm] $\lambda_1...\lambda_n$, [/mm] so ist

[mm] $T=diag(\sqrt{\lambda_1}...\sqrt{\lambda_n})$ [/mm]  (also eine diagonal matrix mit wurzel... auf der diagonalen)
eine matrix mit
[mm] $T^2=A$ [/mm]

die wurzeln darf ich ziehen da die lambda-i die eigenwerte von $A$ sind, also positiv

Bezug
                
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Diagonalisieren: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Do 04.05.2006
Autor: Franzie

Danke, jetzt ist mir klar, warum das so ist bei einer Diagonalmatrix. Aber was ist, wenn meine Matrix die Gestalt so nach Art meiner Matrix A hat, wo eben über den Eigenwerten in der Hauptdiagonale keine Nullen stehen. Wie kann ich denn dann das T berechnen?

liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Diagonalisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Do 04.05.2006
Autor: choosy

so eine matrix wie deine ist irrelevant, da eine diagonalisierbare matrix
o.b.d.a. als diagonal angenommen werden kann. falls deine beispielmatrix diagonalisierbar ist, musst du eine basis $B$ bestimmen bezüglich derer deine matrix diagonalform hat. dann bekommst du einen basiswechsel
$F$ von deiner Basis nach B

nun kannst du wie gesagt ein T finden mit

[mm] $T^2 [/mm] = [mm] FAF^{-1}$, [/mm] da [mm] $FAF^{-1}$ [/mm] eine diagonalmatrix ist. nun kommst du wieder zu deiner ursprünglichen abbildung:

[mm] $A=F^{-1}T^2F=F^{-1}T (FF^{-1})TF [/mm] = [mm] (F^{-1}TF)^2$ [/mm]

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