Diagonalisierende Matrix in C? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Fr 15.01.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Ich soll über C bestimmen, ob folgende Matrix diagonalisierbar ist , oder nicht!?
[mm] A=\pmat{ 4 & -1 \\ 1 & 3 }
[/mm]
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Ich habe hier zuesrt das charakteristische Polynom berechnet, es lautet:
[mm] \lambda^2-7\lambda+13
[/mm]
In C ergeben sich damitüber p-q-Formel folgende Eigenwerte:
[mm] \lambda_1= [/mm] (7/2) [mm] +(i*\wurzel{3})/(2)
[/mm]
[mm] \lambda_2= [/mm] (7/2) [mm] -(i*\wurzel{3})/(2)
[/mm]
Nun habe ich versucht dim [mm] Eig(A,\lambda_1)und [/mm] dim [mm] Eig(A,\lambda_2) [/mm] zu betsimmmen.
Im ersten Fall egibt sich
[mm] \pmat{ 1+(i*\wurzel{3})/(2) & -1 \\ 1 & -1+(i*\wurzel{3})/(2) }
[/mm]
Jetzt müsste ich die Matrix ja in Zeilenstfenform bringen, um ihren Rag zu bestimmen - aber hier liegt leider mein Problem - ich bekomme es einfach nicht hin!
Kann mir da jemand weiterhelfen und mal meine bisherigen Ergenbinsse überprüfen!? Danke im voraus!
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Hi LariK,
ich weiß nicht ob du das benutzen darfst, aber da gibt es einen Satz
mit dem du schnell fertig bist:
Eine Matrix [mm] A \in\mathbb{K}^{n\times n}[/mm] mit [mm] n [/mm] paarweise verschiedenen Eigenwerten ist stets diagonalisierbar.
Beste Grüße
DerSpunk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Fr 15.01.2010 | | Autor: | LariC |
Ne - darf ich leider nicht! Auf solche schönen Sätze wollen wir im laufe der näcsten Sätze wohl noch hinaus...schade eigentlich! Trotzdem danke!
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Na dann halt zu Fuß :)
[mm]
\begin{pmatrix}
1+\frac{\sqrt{3}}{2}i & -1 \\ 1 & -1+\frac{\sqrt{3}}{2}i}
\end{pmatrix}
[/mm]
auf Zeilenstufenform bringen.
Löse
[mm] 1-k(1+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=0 [/mm]
nach [mm] k [/mm] auf. Dann multipliziere die erste Zeile mit k und
subtrahiere das Ergebnis von der Zweiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
Ja gut - dann vercuhe ich das gleich nochmal so - aber kommt die Eins nicht mit über den Bruchstrich, da es 1/2 sind und nicht 1???
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> Ja gut - dann vercuhe ich das gleich nochmal so - aber
> kommt die Eins nicht mit über den Bruchstrich, da es 1/2
> sind und nicht 1???
Hallo,
ja, die von Dir eingangs gepostete Matrix $ [mm] \pmat{ 1+(i\cdot{}\wurzel{3})/(2) & -1 \\ 1 & -1+(i\cdot{}\wurzel{3})/(2) } [/mm] $ ist falsch.
Richtig muß es heißen
[mm] A-\lambda_2E=$ \pmat{ (1+i\cdot{}\wurzel{3})/(2) & -1 \\ 1 & (-1+i\cdot{}\wurzel{3})/(2) } [/mm] $
Zur Bestimmung des Kerns multipliziere die obere Zeile mit [mm] \bruch{2}{1+i\cdot{}\wurzel{3}}, [/mm] dann hast Du vorne eine Eins und kannst fortfahren wie gewohnt.
Zur Beantwortung der Frage mußt Du das aber nicht ausrecchnen.
Hattet Ihr, daß die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind? Wenn ja, kannst Du nun leicht eine Argumentation zimmern.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
Ja das hatten wir schon, aber wieso sollte mir das hier in meiner Argumenation helfen - rechnerisch habe ich es jetzt geschaft, dass die Matrix dann über C diagonbalisierbar ist. Das müsste dann ja heißen, dass die Eigenvektoren l. u. sind, oder ?!
Ich hatte jetzt auch noch zwei andere Matrizen, nämlich:
[mm] A=\pmat{ -3 & 4 \\ -1 & 1 }
[/mm]
und [mm] C=\pmat{ -1 & 1 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Ich habe da jetzt raus, dass beide matrizen weder über R noch über C diagonalisierbar sind und das kommt mir wtwas komisch vor - ich finde aber emien Fehler nicht. Könnte nochmal jemand bitte gucken, ob er das gleiche rausbekommt?
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> Ja das hatten wir schon, aber wieso sollte mir das hier in
> meiner Argumenation helfen -
Hallo,
so: zu jedem der verschiedenen Eigenwerte gehört ein Eigenvektor. Damit hast Du zwei linear unabhängige Eigenvektoren, also eine Basis aus Eigenvektoren. Also ist die Matrix diagonalisierbar - ohne daß man die EVen ausgerechnet hat.
>rechnerisch habe ich es jetzt
> geschaft, dass die Matrix dann über C diagonbalisierbar
> ist. Das müsste dann ja heißen, dass die Eigenvektoren l.
> u. sind, oder ?!
Du hast zwei linear unabhängige Eigenvektoren, der Raum die Dimension 2, also: diagonalisierbar.
>
> Ich hatte jetzt auch noch zwei andere Matrizen, nämlich:
> [mm]A=\pmat{ -3 & 4 \\ -1 & 1 }[/mm]
> und [mm]C=\pmat{ -1 & 1 \\ 3 & 4 }[/mm]
>
> Ich habe da jetzt raus, dass beide matrizen weder über R
> noch über C diagonalisierbar sind und das kommt mir wtwas
> komisch vor - ich finde aber emien Fehler nicht. Könnte
> nochmal jemand bitte gucken, ob er das gleiche rausbekommt?
Die erste Matrix ist nicht diagonalisierbar, die zweite aber doch, sofern ich mich nicht vertan habe.
(Grundsätzlich solltest Du bei solchen Fragen mitposten, wie Du auf Deine Schlüsse gekommen bist.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
Ja - jetzt wo ich das so lese fällt mir auch ein, dass wir das sogar schonmal so besprochen hatten - klar! Danke!
Meinen fehler bei der zweiten matrix habe ich jetzt auch gefunden - mal schauen, ob es dann jetzt im Endeffekt auf R und C klappt - vilen dank!
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