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| Aufgabe | Ist die folgende Matrix diagonalisierbar. Wenn ja berechnen sie ggf eine reguläre Matrix T so dass T*A*T^-1 eine Diagonalmatrix ist.
A = 5 1 2
0 3 0
2 1 5 |
Ich hab schon mal angefangen:
Das charakteristische Polynom von A lautet:
[mm] -x^3 [/mm] + 13 * [mm] x^2 [/mm] - 51*x + 63
Die Eigenwerte sind demnach:
x1 = 3 (doppelte Nullstelle ) und x2 = 7
Nun hab ich die zugehörigen Eigenräume berechnet.
für 7 ergibt sich:
-2 0 2
0 1 0
0 0 0
hieraus folgt: v3 = s, v2 = 0 v1 = s
Also ist ein Eigenvektor (1,0,1)
für 3 ergibt sich
2 1 2
0 0 0
0 0 0
Also v3 = s, v2 = t und v1 = -0,5t-s
Der Eigenraum wird aufgespannt von den Vektoren
(-1,0,1) für s = 1 und t = 0
und (-0,5, 1,0) für s= 0 und t 0 1
Ist das so richtig mit den beiden Vektoren???
Die drei Vektoren, die die Eigenräume aufspannen sind linear unabhängig, sie bilden eine Basis.
Daher ist die Matrix diagonalisierbar.
Jetzt muss man (glaube ich die Vektoren in Spalten schreiben)
Also
1 -0,5 -1
0 1 0
1 0 1
Die Inverse berechnen
0,5 0,25 0,5
0 1 0
-0,5 -0,25 0,5
Und dann noch T*A*T^-1 ausrechnen , dann müsste doch eine Diagonalmatrix rauskommen, die in der Diagonale die Eigenwerte hat. Bei mir kommt aber folgendes raus:
3 0 0
0 3 0
0 2 7
Das wäre ja schon ganz gut aber ich weiß beim besten willen nicht warum da eine 2 in der dritten zeile steht. Ich hab schon alles nachgerechnet,aber ich finde den Fehler nicht.
Vielleicht kann mir jemand helfen.
Danke
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt
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Hallo Margit,
> Ist die folgende Matrix diagonalisierbar. Wenn ja berechnen
> sie ggf eine reguläre Matrix T so dass T*A*T^-1 eine
> Diagonalmatrix ist.
>
>
> A = 5 1 2
> 0 3 0
> 2 1 5
Hmm, die schreibt man so:
[mm] $A=\pmat{5&1&2\\0&3&0\\2&1&5} \leftarrow$ klick mal drauf
> Ich hab schon mal angefangen:
> Das charakteristische Polynom von A lautet:
> [/mm] [mm]-x^3[/mm] + 13 * [mm]x^2[/mm] - 51*x + 63
>
> Die Eigenwerte sind demnach:
> x1 = 3 (doppelte Nullstelle ) und x2 = 7 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun hab ich die zugehörigen Eigenräume berechnet.
> für 7 ergibt sich:
>
> -2 0 2
> 0 1 0
> 0 0 0
> hieraus folgt: v3 = s, v2 = 0 v1 = s
> Also ist ein Eigenvektor (1,0,1)
>
>
> für 3 ergibt sich
>
> 2 1 2
> 0 0 0
> 0 0 0
>
> Also v3 = s, v2 = t und v1 = -0,5t-s
> Der Eigenraum wird aufgespannt von den Vektoren
>
> (-1,0,1) für s = 1 und t = 0
> und (-0,5, 1,0) für s= 0 und t 0 1
>
> Ist das so richtig mit den beiden Vektoren??? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Alles bestens!
>
> Die drei Vektoren, die die Eigenräume aufspannen sind
> linear unabhängig, sie bilden eine Basis.
> Daher ist die Matrix diagonalisierbar.
genau!
>
> Jetzt muss man (glaube ich die Vektoren in Spalten
> schreiben)
> Also
> 1 -0,5 -1
> 0 1 0
> 1 0 1
ja, das ist [mm] $T=\pmat{1&-\frac{1}{2}&-1\\0&1&0\\1&0&1}$
[/mm]
> Die Inverse berechnen
>
> 0,5 0,25 0,5
> 0 1 0
> -0,5 -0,25 0,5
Das ist [mm] $T^{-1}=\pmat{\frac{1}{2}&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\0&1&0\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}}$
[/mm]
>
> Und dann noch T*A*T^-1 ausrechnen ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , dann müsste doch eine
> Diagonalmatrix rauskommen, die in der Diagonale die
> Eigenwerte hat. Bei mir kommt aber folgendes raus:
>
> 3 0 0
> 0 3 0
> 0 2 7
>
> Das wäre ja schon ganz gut aber ich weiß beim besten willen
> nicht warum da eine 2 in der dritten zeile steht. Ich hab
> schon alles nachgerechnet,aber ich finde den Fehler nicht.
>
> Vielleicht kann mir jemand helfen.
> Danke
Berechne mal [mm] $T^{-1}AT$
[/mm]
Eine Matrix $A$ ist diagonalisierbar, falls sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix $D$ ist, falls also eine invertierbate Matrix $T$ existiert mit [mm] $D=T^{-1}AT$
[/mm]
Du hast die Reihenfolge vertauscht 
> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt
Gruß
schachuzipus
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