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Hallo Leute,
Ich komme hier bei einer Aufgabe auf ne Lösung, die so nicht stimmen kann, nur kann ich meinen Fehler nicht finden.
Ich lass euch mal ein wenig an meinem Leidensweg teilnehmen 
Folgende Matrix ist zu diagonalisieren.
[mm] A=\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 }
[/mm]
Als charakt. Polynom bekomme ich [mm] (\lambda-1)^{2}(\lambda-2) [/mm] raus.
Eigenraum von 1 : [mm] [\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}]
[/mm]
Eigenraum von 2 : [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Also [mm] S^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
Als invertierte Matrix erhalte ich : [mm] \pmat{1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0}
[/mm]
Rechne ich nun D = S * A * [mm] S^{T} [/mm] erhalte ich
D = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2}
[/mm]
also leider keine Diagonalmatrix.
Wo liegt mein Fehler ?
Würde mich über Hilfe freuen.
Gruß Chiro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Di 20.09.2005 | | Autor: | mazi |
Hallo!
Rechne doch den Eigenraum zum Eigenwert 1 noch einmal nach, ich habe zwei andere Eigenvektoren rausbekommen.
Wenn du den Fehler nicht findest, schreib mir den genauen Rechenweg auf, dann helf ich dir weiter.
Maria
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Hallo Maria,
Danke für deine Antwort.
Dachte mir schon, dass mein Fehler vielleicht dort liegen könnte.
Aber ich packs immer noch nicht.
Für den Eigenwert 1 erhalte ich ja folgende Matrix :
[mm] \pmat{0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -1}
[/mm]
dann ein wenig umformen und ich komme zu dem hier :
[mm] \pmat{0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Wenn ich das jetzt versuche zu lösen, komme ich immer auf zweimal
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}.
[/mm]
Bzw. auf [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{2} \\ 1}
[/mm]
Macht auch nicht gerade viel Sinn !?
Gruß Chiro
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Hallo Chironimus,
> Für den Eigenwert 1 erhalte ich ja folgende Matrix :
>
> [mm]\pmat{0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -1}[/mm]
>
> dann ein wenig umformen und ich komme zu dem hier :
>
> [mm]\pmat{0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt versuche zu lösen, komme ich immer auf
> zweimal
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}.[/mm]
dies ist ein Eigenvektor zum Eigenvektor 1.
>
> Bzw. auf [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ \bruch{1}{2} \\ 1}[/mm]
>
> Macht auch nicht gerade viel Sinn !?
Wir haben ja 1 Gleichung in 3 Unbekannten. Es gibt also eine zweiparametrige Lösungsschar. Die bei den Parametern angegebenen Vektoren sind die Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
Gruß
MathePower
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Hallo,
also dass man ein zweiparametrige Lösungsschar erhalten sollte, ist mir eigentlich schon klar.
Da ja zwei Nullzeilen vorhanden sind, kann ich doch zwei Werte frei wählen.
Ich fange also an und wähle z.B. [mm] x_{2}=r.
[/mm]
Damit erhalte ich aus der ersten Zeile :
-2r + [mm] x_{3} [/mm] = 0 [mm] \gdw x_{3} [/mm] = 2r , also ingesamt r * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}.
[/mm]
Nun wähle ich z.B. [mm] x_{3}=s.
[/mm]
Eingesetzt liefert das :
[mm] -2x_{2} [/mm] + s = 0 [mm] \gdw x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ,
also insgesamt : s * [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{2} \\ 1}
[/mm]
Was genau mache ich falsch ?
Gruß Chiro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Mi 21.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Guten Abend.
Also für den ersten Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda=1 [/mm] hab ich was anderes raus. I [mm] x_2= \bruch{1}{2}x_3
[/mm]
II sei [mm] x_1= [/mm] r
II sei [mm] x_3=t
[/mm]
daraus folgt: I [mm] x_1=r
[/mm]
II [mm] x_2= \bruch{1}{2}t
[/mm]
II [mm] x_3=t
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=r* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+t* \vektor{0 \\ \bruch{1}{2} \\ 1}. [/mm]
Probier es mal damit.
grüße Benno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mi 21.09.2005 | | Autor: | Chironimus |
Hallo,
habs jetzt mit den Werte versucht und es hat auch geklappt.
Wenn ich 2 Nullzeilen habe, komme ich, aus welchen Gründen auch immer, durcheinander.
Konnte die Rechnung aber nachvollziehen.
Also, nochmals Vielen Dank an Euch !!
Gruß Chiro
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