Diagonalisierung Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Kevin22 |
| Aufgabe | Sei die reelle symmetrische Matrix gegeben. Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix C und eine Diagonalmatrix D, so dass D = C^-1 AC gilt. Geben Sie
außerdem C^-1 an
A=
1 2 1
2 0 2
1 2 1
Mein ansatz:
Ich hab die eigenwerte 0 , 4 , -2raus.
Für lambda 1 habe ich den eigenvektor ( 1, 0 , -1) raus.
Für den eigenwert 4 habe ich folgende matrix:
3 2 1
2 -4 2
1 2 -3
Aber jetzt habe ich irgendwie probleme den eigenvektor raus zu kriegen und benötige eure Hilfe. |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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> Sei die reelle symmetrische Matrix gegeben. Bestimmen Sie
> eine orthogonale Matrix C und eine Diagonalmatrix D, so
> dass D = C^-1 AC gilt. Geben Sie
> außerdem C^-1 an
>
> A=
>
> 1 2 1
> 2 0 2
> 1 2 1
>
> Mein ansatz:
>
> Ich hab die eigenwerte 0 , 4 , -2raus.
>
> Für lambda 1 habe ich den eigenvektor ( 1, 0 , -1) raus.
>
> Für den eigenwert 4 habe ich folgende matrix:
>
> 3 2 1
> 2 -4 2
> 1 2 -3
>
> Aber jetzt habe ich irgendwie probleme den eigenvektor raus
> zu kriegen und benötige eure Hilfe.
Oben links gehört eine -3 hin. Und dann sollte es gehen ...
> Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Do 03.05.2012 | | Autor: | Kevin22 |
-3 2 1
2 -4 2
1 2 -3
Zeilenumformung:
1+2 Zeile:
-3 2 1
-1 -2 3
1 2 -3
Dann 2 + 3 zeile:
-3 2 1
-1 -2 3
0 0 0
LGS:
-3x1 +2x2 +x3=0
-x1 - 2x2 +3x3=0
Wie kriege ich jetzt die einzelnen werte aus dem LGS raus?
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> -3 2 1
> 2 -4 2
> 1 2 -3
>
> Zeilenumformung:
>
> 1+2 Zeile:
>
> -3 2 1
> -1 -2 3
> 1 2 -3
>
> Dann 2 + 3 zeile:
>
> -3 2 1
> -1 -2 3
> 0 0 0
Hallo,
mach weiter bis zur Zeilenstufenform:
-3*Zeile2 + Zeile 1 ergibt
[mm] \pmat{\green{-3}&2&1\\0&\green{8}&-8\\0&0&0}
[/mm]
Kochrezept:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen sind in Spalte 1. und 2, also kann man die 3.Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_3=t
[/mm]
erhält man aus der 2.Zeile
[mm] 8x_2-8x_3=0 [/mm] <==>
[mm] x_2=x_3=t
[/mm]
und aus der 1.Zeile
[mm] -3x_1+2x_2+x_3=0 [/mm] <==>
[mm] x_1=-1/3(-2x_2-x_3)=t
[/mm]
Also haben alle Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda_2=4 [/mm] die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{t\\t\\t}=t*\vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
[mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] ist eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] \lambda_2=4, [/mm] und insbesondere ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_2=4.
[/mm]
LG Angela
>
> LGS:
>
> -3x1 +2x2 +x3=0
> -x1 - 2x2 +3x3=0
>
> Wie kriege ich jetzt die einzelnen werte aus dem LGS raus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Do 03.05.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Gut mein Ansatz zum Eigenwert -2:
Matrix:
3 2 1
2 2 2
1 2 3
Zuerts 1- 3spalte und dann 2- 3spalte.
Hiernach 2- 3spalte.
Danach bekomme ich diese Matrix:
3 2 1
1 0 -1
0 0 0
LGS:
2Zeile x3=t
Bekomme raus x1= t
Dann in 1 spalte eingesetzt:
3t +2x2 +t=0
x2= -2t
Eigenvektor( t , -2t , t)
Hoffe ich hab dein kochrezept richtig angewendet.
Wenn das richtig ist, wie kriege ich genau die die orthogonale Matrix und diagonale matrix raus?
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> Gut mein Ansatz zum Eigenwert -2:
>
> Matrix:
>
> 3 2 1
> 2 2 2
> 1 2 3
>
> Zuerts 1- 3spalte und dann 2- 3spalte.
>
> Hiernach 2- 3spalte.
>
> Danach bekomme ich diese Matrix:
>
> 3 2 1
> 1 0 -1
> 0 0 0
>
>
> LGS:
>
> 2Zeile x3=t
>
> Bekomme raus x1= t
> Dann in 1 spalte eingesetzt:
>
> 3t +2x2 +t=0
>
> x2= -2t
>
> Eigenvektor( t , -2t , t)
>
> Hoffe ich hab dein kochrezept richtig angewendet.
Hallo,
ja.
Es ist [mm] \vektor{1\\-2\\1} [/mm] eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert -2.
Da Deine Matrix A symmetrisch ist, sind Deine Eigenvektoren zu den 3 verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal. Normiere sie und stelle sie in eine Matrix - damit hast Du dann die gesuchte Matrix C gefunden. Da sie orthogonal ist, bekommst Du [mm] C^{-1} [/mm] leicht: es ist [mm] C^{–1}=C^{T}.
[/mm]
Am Ende kannst Du nachrechnen, ob Du per Multiplikation der drei Matrizen wirklich die gesuchte Diagonalmatrix bekommst. Wenn Du nichts falsch gemacht hast, kann es nicht anders sein.
LG Angela
>
> Wenn das richtig ist, wie kriege ich genau die die
> orthogonale Matrix und diagonale matrix raus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Do 03.05.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ich habe die drei eigenvektoren normiert:
der erste ist 1/wurzel aus 2 .
Zweite ist 1/2.
Der dritte ist 1.
Was mache ich jetzt genau?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Do 03.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe die drei eigenvektoren normiert:
>
> der erste ist 1/wurzel aus 2 .
> Zweite ist 1/2.
>
>
> Der dritte ist 1.
Da stimmt was nicht. Zeige mal, was Du gemacht hast.
FRED
>
> Was mache ich jetzt genau?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 03.05.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Erstes vektor:
( 1 , 0 , -1) = normiert 1/wurzelaus2
2 vektor ( t , -2t , t) = Ah ich glaub hab mein fehler:
1/ wurzel aus6
dritte natürlich 1.
Aber wie gehe ich weiter vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Do 03.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Angela hats doch gesagt:
"Normiere sie und stelle sie in eine Matrix - damit hast Du dann die gesuchte Matrix C gefunden"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Do 03.05.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Sieht die matrix so richtig aus?
Hab sie als datei gepostet.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Do 03.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sieht die matrix so richtig aus?
Nein. Du sollst nicht die Normierungsfaktoren in eine Matrix stellen, sondern die normierten Vektoren !!!
FRED
>
> Hab sie als datei gepostet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Do 03.05.2012 | | Autor: | Kevin22 |
So richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Do 03.05.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
warum tust du dir das an, extra eine 3x3-Matrix einzuscannen und hochzuladen, wo es hier doch einen Formelditor gibt?
[mm]\pmat{ a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i} [/mm]
Das geht total easy, klicke einfach mal drauf.
Gruß, Diophant
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Hallo,
nach über 100 Beiträgen erwarten wir von Dir, daß Du Dich mit der Eingabe von Formeln, Vektoren und Matrizen vertraut machst.
Nein, Deine Matrix ist nicht richtig.
Ich hab' doch gesagt, Du sollst die normierten Eigenvektoren in eine Matrix stellen.
Was machst Du? Stellst die nichtnormierten rein...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Do 03.05.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Soll ich jetzt von dieser Matrix
1 1 1
0 -2 1
-1 1 1
die Inverse berechnen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Do 03.05.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hat jemand irgendeinen tipp für mich?
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> Soll ich jetzt von dieser Matrix
>
> 1 1 1
> 0 -2 1
> -1 1 1
>
Hallo,
nein.
Du solltest die normierten Vektoren in die Matrix packen und dann die Inverse hinschrieben.
Das ist doch bereits gesagt worden. Wo ist denn das Problem?
LG Angela
>
> die Inverse berechnen ?
>
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