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Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Sa 04.02.2006
Autor: ddevil

Aufgabe
Sei $A= [mm] \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 &3 \\ 1 & 3 & 2}$. [/mm]
Bestimme eine Matrix [mm] $B\in M(3\times 3,\IR)$, [/mm] sodass [mm] $A=B^{2}$. [/mm]
Hinweis: Diagonalisiere $A$ zunächst, d.h. finde ein invertierbares $T$ mit [mm] $TAT^{-1}= \pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} }$, [/mm] wobei  [mm] $\lambda_{1},\ldots, \lambda_{3}$ [/mm] die Eigenwerte von $A$ sind.

Die Matrix T habe ich mit Hilfe des Spektralsatzes und der Hauptachsentransformation bestimmt und die dürfte auch richtig sein. Aber wie muss ich dann weiter machen. Ich habe schon lange überlegt, aber ich bin noch auf keine Lösung gekommen.

        
Bezug
Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Sa 04.02.2006
Autor: DaMenge

Hi,


dann wähle als B:

[mm] $B=T^{-1} *\pmat{ \wurzel{ \lambda_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & \wurzel{ \lambda_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{ \lambda_{3}} } [/mm] *T $

denn dann ist [mm] $B^2=B*B$ [/mm] - eingesetzt:
[mm] $B^2= T^{-1} *\pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} } [/mm] *T$

und wenn du dann $ [mm] TAT^{-1}= \pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} } [/mm] $ einsetzt, kommt gerade A heraus.

viele Grüße
DaMenge

Bezug
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