Diagonalmatrix? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mi 06.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich hätte eine Frage bezüglich Namen von Matrizen
Also ich weiß: Es sei f: V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus. Eine Matrix A ist diagonalsierbar, wenn es eine Basis von V aus Eigenvektoren von A gibt.
Eine Matrix, die NICHT diagonalisierbar ist, ist z.B die obere Dreiecksmatrix, also:
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] Es gibt hier KEINE Basis, die nur aus Eigenvektoren besteht (algebr. Vielfachh [mm] \not= [/mm] geom. Vielfachh.)
ABER: Ich kann doch die Matrix A durch Zeilenumformung (1. Zeile minus der 2. Zeile) auf eine MAtrix B der Form:
B = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] bringen. Dies Matrix besteht NICHT aus Eigenvektoren. ABER sie ist doch diagonal!! Wie heißt dann diese Matrix?
Wie nennt man jetzt so eine Matrix die nicht diagonalisierbar ist (also es gibt keine Basis aus Eigenvektoren), die aber nur Einträge auf der Hauptdiagonalen hat???
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mi 06.07.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Holger!
> Ich hätte eine Frage bezüglich Namen von Matrizen
> Also ich weiß: Es sei f: V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus. Eine
> Matrix A ist diagonalsierbar, wenn es eine Basis von V aus
> Eigenvektoren von A gibt.
>
> Eine Matrix, die NICHT diagonalisierbar ist, ist z.B die
> obere Dreiecksmatrix, also:
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] Es gibt hier KEINE Basis, die
> nur aus Eigenvektoren besteht (algebr. Vielfachh [mm]\not=[/mm]
> geom. Vielfachh.)
>
> ABER: Ich kann doch die Matrix A durch Zeilenumformung (1.
> Zeile minus der 2. Zeile) auf eine MAtrix B der Form:
>
> B = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] bringen. Dies Matrix besteht
> NICHT aus Eigenvektoren. ABER sie ist doch diagonal!! Wie
> heißt dann diese Matrix?
Diese Matrix, die du dir da gebastelt hast, ist sehr wohl diagonalisierbar, denn sie ist ja bereits diagonal. ABER: Du hast durch deine Zeilenumformung eine neue Abbildung definiert. Diagonalisieren heißt nicht, per Gauß-Verfahren umformen. Diagonalisiert wird eine Abbildungsmatrix durch einen Basiswechsel, bei dem dann eine diagonale Matrix rauskommt. Was du gemacht hast, verändert die Abbildung. Die Abbildung die durch die Matrix A dargestellt wird, ist eine andere, als die, die durch Matrix B dargestellt wird. Die erstere ist nicht diagonalisierbar, denn du wirst keine Basis finden, so dass die Matrix bezüglich dieser Basis dargestellt diagonal ist. Die zweite ist aber diagonalisierbar, denn sie ist insbesondere die Identität, und insofern bezüglich jeder Basis diagonal.
> Wie nennt man jetzt so eine Matrix die nicht
> diagonalisierbar ist (also es gibt keine Basis aus
> Eigenvektoren), die aber nur Einträge auf der
> Hauptdiagonalen hat???
Eine solche Matrix gibt es demnach nicht. Wenn sie nur Einträge auf der Hauptdiagonalen hat, dann ist sie diagonal, also natürlich auch diagonalisierbar. Hilft dir das weiter? Ich hoffe, sonst frag einfach nochmal nach!
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