Diagonalmatrix von transp. Abb < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Ist der Endomorphismus
T : [mm] M_{2x2}(\IR) \to M_{2x2}(\IR), [/mm] A [mm] \mapsto A^t
[/mm]
diagonalisierbar, wobei [mm] A^t [/mm] die zu A transponierte Matrix ist? Wenn Ja, finden Sie eine Basis B von [mm] M_{2x2}(\IR), [/mm] sodass die darstellende Matrix B bzgl. des Endomorphismus T diagonal ist. |
Hallo,
also zum ersten Punkt denke ich, dass die Matrix [mm] A^t [/mm] nur diagonal sein kann, wenn auch die Matrix A diagonalisierbar ist, denn es gilt ja det(A) = [mm] det(A^t). [/mm] Liege ich da richtig?
Beim zweiten habe ich so meine Probleme. Ich habe die Standardbasis des [mm] M_{2x2}(\IR) [/mm] genommen und damit die Darstellungsmatrix gebildet:
[mm] M_{B}(T):= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
So, diese ist ja nicht diagonal. Das heißt, ich muss es mit einer anderen Basis versuchen? Aber welcher?
Grüße
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> Ist der Endomorphismus
> T : [mm]M_{2x2}(\IR) \to M_{2x2}(\IR),[/mm] A [mm]\mapsto A^t[/mm]
>
> diagonalisierbar, wobei [mm]A^t[/mm] die zu A transponierte Matrix
> ist? Wenn Ja, finden Sie eine Basis B von [mm]M_{2x2}(\IR),[/mm]
> sodass die darstellende Matrix B bzgl. des Endomorphismus T
> diagonal ist.
> Hallo,
> also zum ersten Punkt denke ich, dass die Matrix [mm]A^t[/mm] nur
> diagonal sein kann, wenn auch die Matrix A diagonalisierbar
> ist,
> denn es gilt ja det(A) = [mm] $det(A^t).$ [/mm] Liege ich da
> richtig?
Hallo,
sie kann sogar nur diagonal sein, wenn A auch diagonal ist, bzw. wenn eine diagonalisierbar ist, ist es auch die andere. Alles wunderbar - bloß das ist gar nicht das Thema!
> Beim zweiten habe ich so meine Probleme.
Aber Du erfaßt hier jedenfalls, was zu tun ist: die Diagonalisierbarkeit der Abbildung T zu untersuchen.
>Ich habe die
> Standardbasis des [mm]M_{2x2}(\IR)[/mm] genommen und damit die
> Darstellungsmatrix gebildet:
> [mm]M_{B}(T):= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> So, diese ist ja nicht diagonal. Das heißt, ich muss es
> mit einer anderen Basis versuchen? Aber welcher?
Hier hilft das Vorgehen, welches in diesen Fällen immer hilft:
Eigenwerte und zugehörige Eigenräume bestimmen,
feststellen, ob es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
Dies ist im Falle der Existenz die gesuchte Basis.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Die Eigenwerte wären {1,-1} und die Eigenräume:
Eig(1)=<(1,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)>
Eig(-1)=<(0,-1,1,0)>
Die Eigenvekotren bilden eine Basis des [mm] \IR^4. [/mm] Diese ist aber noch nicht diagonal. Ist dann nach der Diagonalmatrix aus den Eigenwerten gefragt? Wenn ja, dann verwirrt mich die Aufgabenstellung ein bisschen, da dort ja nach einer diagonalen Darstellungsmatrix gefragt ist.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Mi 09.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Eigenwerte wären {1,-1}
Das stimmt.
> und die Eigenräume:
> Eig(1)=<(1,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)>
> Eig(-1)=<(0,-1,1,0)>
Diese Eigenräume stimmen nicht.
Eigenvektoren von T sind 2x2- Matrizen !
Beide Eigenräume haben die Dimension 2 .
Tipp: nimm dir die Standardbasis von [mm] M_{2x2}(\IR) [/mm] her und lass mal T drauf los.
Wenn Du diese Basis geschickt ordnest, erhätst Du als Abbildungsmatrix die 4x4- Einheitsmatrix.
FRED
>
> Die Eigenvekotren bilden eine Basis des [mm]\IR^4.[/mm] Diese ist
> aber noch nicht diagonal. Ist dann nach der Diagonalmatrix
> aus den Eigenwerten gefragt? Wenn ja, dann verwirrt mich
> die Aufgabenstellung ein bisschen, da dort ja nach einer
> diagonalen Darstellungsmatrix gefragt ist.
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Wie wäre es mit diese Basis:
[mm] B:={\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }}
[/mm]
Wenn ich dann die Darstellungsmatrix bilde, erhalte ich:
[mm] M_{b}(T):=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mi 09.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wie wäre es mit diese Basis:
> [mm]B:={\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }}[/mm]
Das ist keine Basis von [mm] M_{2x2}(\IR) [/mm] !!!!
FRED
>
> Wenn ich dann die Darstellungsmatrix bilde, erhalte ich:
> [mm]M_{b}(T):=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Ups, ich habe mich verschrieben sehe ich grade.
In der Basis müssen natrülich die zweite und dritte Matrix andersherum sein, also die Diagonalen vertauscht werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mi 09.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Was die Frage nach der Diagonalisierbarkeit angeht, kann man auch so argumentieren:
Es ist [mm] $T^2=I$ [/mm] (I = Identität).
Machen wirs gleich allgemeiner:
Ist V eine Vektorraum über einem Körper K und T ein Endomorphismus von V mit [mm] T^2=I, [/mm] so gilt:
(T-I)(T+I)=0
also
$ Kern(T-I) [mm] \oplus [/mm] Kern(T+I)=V$.
Daraus ersieht man, dass es eine Basis B von V gibt, die aus Eigenvektoren von T besteht.
Fazit: T ist diagonalisierbar.
Frage an Dich: was ist bei Deinem obigen T der Kern von T-I und was ist der Kern von T+I ?
FRED
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