Diagonalmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Di 11.01.2011 | | Autor: | sqrt25 |
| Aufgabe | Seien [mm] a_1,...,a_n [/mm] und [mm] b_1,...,b_n [/mm] Elemente eines Körpers K.
Zeige: Die Diagnonalmatrizen mit den Einträgen [mm] a_i [/mm] (Matrix A) bzw. [mm] b_i [/mm] (Matrix B)an der Stelle i,i sind ähnlich zueinander => es gibt ein [mm] \sigma \in S_n [/mm] mit [mm] b_i=a_{\sigma(i)} [/mm] für alle i. |
Also:
zz.: [mm] A=Q^{-1}BQ [/mm] <=> [mm] AQ^{-1}=Q^{-1}B [/mm] gilt für ein [mm] Q\in Gl_n(K). [/mm] Daraus soll gefolgert werden, dass ein entsprechendes [mm] \sigma [/mm] existiert.
[mm] Q=(c_{ij}), i,j\in{1,...,n}
[/mm]
[mm] AQ^{-1}=Q^{-1}B
[/mm]
[mm] <=>\begin{pmatrix}
a_1 c_{11}& a_1 c_{12}& ... & a_1 c_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_n c_{n1}& a_n c_{n2}& ... & a_n c_{nn}
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
b_1 c_{11}& b_2 c_{12}& ... & b_n c_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
b_1 c_{n1}& b_2 c_{n2}& ... & b_n c_{nn}
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] <=>\begin{pmatrix}
(a_1-b_1) c_{11}& (a_1-b_2) c_{12}& ... & (a_1-b_n) c_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
(a_n-b_1) c_{n1}& (a_n-b_2) c_{n2}& ... & (a_n-b_n) c_{nn}
\end{pmatrix}=(0_{ij}) [/mm] (*)
Ich weiß nun nicht genau, wie ich den Beweis führen soll, ohne ein konkretes Q vorzugeben. Wenn Q auch eine Diagonalmatrix ist, ist klar, dass z.B. [mm] \sigma=id [/mm] eine Permutation ist, die mir für (*) eine wahre Aussage liefert, aber wie argumentiere ich, ohne ein konkretes Q vorzugeben?
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Di 11.01.2011 | | Autor: | sqrt25 |
Hat keiner einen Tipp parat?
|
|
|
| |
|
> Hat keiner einen Tipp parat?
Hallo,
findest Du diese Nachfrage zweieinhalb Stundennach Einstellen Deiner Frage nicht etwas übertrieben?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Mi 12.01.2011 | | Autor: | sqrt25 |
'schuldigung!
|
|
|
| |
|
> Seien [mm]a_1,...,a_n[/mm] und [mm]b_1,...,b_n[/mm] Elemente eines Körpers
> K.
> Zeige: Die Diagnonalmatrizen mit den Einträgen [mm]a_i[/mm] (Matrix
> A) bzw. [mm]b_i[/mm] (Matrix B)an der Stelle i,i sind ähnlich
> zueinander => es gibt ein [mm]\sigma \in S_n[/mm] mit
> [mm]b_i=a_{\sigma(i)}[/mm] für alle i.
>
> Also:
> zz.: [mm]A=Q^{-1}BQ[/mm] <=> [mm]AQ^{-1}=Q^{-1}B[/mm] gilt für ein [mm]Q\in Gl_n(K).[/mm]
> Daraus soll gefolgert werden, dass ein entsprechendes
> [mm]\sigma[/mm] existiert.
>
> [mm]Q=(c_{ij}), i,j\in{1,...,n}[/mm]
>
> [mm]AQ^{-1}=Q^{-1}B[/mm]
> [mm]<=>\begin{pmatrix} a_1 c_{11}& a_1 c_{12}& ... & a_1 c_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_n c_{n1}& a_n c_{n2}& ... & a_n c_{nn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1 c_{11}& b_2 c_{12}& ... & b_n c_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
b_1 c_{n1}& b_2 c_{n2}& ... & b_n c_{nn} \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
der Ansatz ist so, wie er jetzt dasteht, ja etwas verkrutzt,
denn bei Dir scheint Q dasselbe zu sein wie [mm] Q^{-1}, [/mm] oder sehe ich hier etwas falsch?
Naja, wenn Du schreibst, daß [mm] Q^{\red{-1}}=(c_i_j), [/mm] dann stimmt der Rest aber - und es stimmt auch, daß die Argumentation mühsam wird...
Ich würde anders vorgehen.
Eigenwerte usw. waren dran?
Welches sind die Eigenwerte von Diagonalmatrizen?
Was weißt Du über die Eigenwerte von ähnlichen Matrizen?
Also?
Gruß v. Angela
>
> [mm]<=>\begin{pmatrix} (a_1-b_1) c_{11}& (a_1-b_2) c_{12}& ... & (a_1-b_n) c_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
(a_n-b_1) c_{n1}& (a_n-b_2) c_{n2}& ... & (a_n-b_n) c_{nn} \end{pmatrix}=(0_{ij})[/mm]
> (*)
>
> Ich weiß nun nicht genau, wie ich den Beweis führen soll,
> ohne ein konkretes Q vorzugeben. Wenn Q auch eine
> Diagonalmatrix ist, ist klar, dass z.B. [mm]\sigma=id[/mm] eine
> Permutation ist, die mir für (*) eine wahre Aussage
> liefert, aber wie argumentiere ich, ohne ein konkretes Q
> vorzugeben?
>
> Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Mi 12.01.2011 | | Autor: | sqrt25 |
Ou sorry, es soll heißen [mm] Q^{-1}=(c_{ij}), [/mm] da hab ich mich vertippt.
Nein, Eigenwerte waren noch nicht dran...
|
|
|
| |
|
[mm]Q^{\red{-1}}=(c_{ij}), i,j\in{1,...,n}[/mm]
> Seien [mm]a_1,...,a_n[/mm] und [mm]b_1,...,b_n[/mm] Elemente eines Körpers
> K.
> Zeige: Die Diagnonalmatrizen mit den Einträgen [mm]a_i[/mm] (Matrix
> A) bzw. [mm]b_i[/mm] (Matrix B)an der Stelle i,i sind ähnlich
> zueinander => es gibt ein [mm]\sigma \in S_n[/mm] mit
> [mm]b_i=a_{\sigma(i)}[/mm] für alle i.
>
> Also:
> zz.: [mm]A=Q^{-1}BQ[/mm] <=> [mm]AQ^{-1}=Q^{-1}B[/mm] gilt für ein [mm]Q\in Gl_n(K).[/mm]
> Daraus soll gefolgert werden, dass ein entsprechendes
> [mm]\sigma[/mm] existiert.
>
> [mm]Q^{\red{-1}}=(c_{ij}), i,j\in{1,...,n}[/mm]
>
> [mm]AQ^{-1}=Q^{-1}B[/mm]
> [mm]<=>\begin{pmatrix} a_1 c_{11}& a_1 c_{12}& ... & a_1 c_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_n c_{n1}& a_n c_{n2}& ... & a_n c_{nn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1 c_{11}& b_2 c_{12}& ... & b_n c_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
b_1 c_{n1}& b_2 c_{n2}& ... & b_n c_{nn} \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]<=>\begin{pmatrix} (a_1-b_1) c_{11}& (a_1-b_2) c_{12}& ... & (a_1-b_n) c_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
(a_n-b_1) c_{n1}& (a_n-b_2) c_{n2}& ... & (a_n-b_n) c_{nn} \end{pmatrix}=(0_{ij})[/mm]
Hallo,
gezeigt soll ja, daß die Diagonalelemente von A und B dieselben sind, nur in einer anderen Reihenfolge.
Man könnte ja mal überlegen, was wäre, wenn dies nicht der Fall wäre:
dann hätte man ja eine Spalte, in welcher jeder der Faktoren [mm] (a_i-b_j) [/mm] von 0 verschieden wäre.
Also müßten in dieser Spalte alle [mm] c_i_j [/mm] gleich 0 sein...
Gruß v. Angela
|
|
|
|
