Diagonalschnittpunkt Berechnun < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich komme bei der folgenden Aufgabe net weiter...
Die Punkte A, B, C, D mit A (7|7|7), B (3|2|1), C (4|5|6) liegen in einer Ebene und sind die Ecken eines Parallelogramms. Bestimmen Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes M des Parallelogramms.
Ich dachte mir, dass man 0,5 * ( [mm] \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{BC})... [/mm] Aber das Ergebnis stimmt nicht mit dem vom Lösungsbuch über ein... Das gibt die Lösung M (5,5|6|6,5) vor...
Das heißt, bestimmt ist mein Lösungsweg falsch...
Wer kann mir sagen, wie ich den richtigen logischen Ansatz hinbekommen??
Liege Grüße, Steffi
p.s. Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Steffi,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Hast du evtl. vergessen, dass du von $A$ ausgehen musst? Denn die Lösung aus dem Buch ist richtig.
Gruß Max
|
|
|
| |
|
Hallo Max!
Vielen Dank für die schnelle Antwort...
Aber ich weiß leider nicht, was du damit meinst, dass ich von A ausgehen soll...
Acuh den (FÜR MICH) logischen Ansatz, den Vektor [mm] \overrightarrow{CA} [/mm] mal 1/2 zunehmen kommt nicht zu dem Ergebnis....
Kannst du mir das bitte etwas ausführlicher erläutern?
Danke, Steffi
|
|
|
| |
|
Hi, Steffi,
>
> Aber ich weiß leider nicht, was du damit meinst, dass ich
> von A ausgehen soll...
>
> Acuh den (FÜR MICH) logischen Ansatz, den Vektor
> [mm]\overrightarrow{CA}[/mm] mal 1/2 zunehmen kommt nicht zu dem
> Ergebnis....
>
Dein Hauptproblem ist, dass Du "Ortsvektor" mit "Richtungsvektor" verwechselst.
Das merkt man vor allem bei Deinem 2. Versuch:
[mm] \bruch{1}{2}*\overrightarrow{CA} [/mm] ist zwar der Vektor, der von C zum gesuchten Mittelpunkt (ich nenn' ihn mal M) zeigt, es ist aber nicht der Ortsvektor von M.
Vielleicht mal kurz was zum Begriff "Ortsvektor":
Der Ortsvektor eines Punktes P(a; b; c) zeigt vom Ursprung O des KoSy zum Punkt P; er hat die Koordinaten: [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\ c}.
[/mm]
Das heißt: Wenn Du die Koordinaten eines Punktes suchst, berechnest Du in Wirklichkeit die Koordinaten des Ortsvektors.
Suchst Du also die Koordinaten von M, so musst Du [mm] \overrightarrow{OM}
[/mm]
berechnen. Du musst also von O nach M "marschieren".
Und dies tust Du - wie Max schon sagte - am besten über den Punkt A:
[mm] \overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\overrightarrow{AC}
[/mm]
Ach ja: Wenn Du die rechte Seite umformst, erhältst Du:
[mm] \overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(\overrightarrow{OA} [/mm] + [mm] \overrightarrow{OC})
[/mm]
(und die Formel sollte man sich merken!)
|
|
|
| |
|
Vielen Lieben Dank für die Antowort...
Ich hab leider ein imens schweres Vorstellungsvermögen und versteh einfach nicht, wieso das so ist... Okay, dass man den Ortsvekot nehmen muss ist ja verständlich... Weil ich ja den PUNKT von M im Raum haben will, gell? Aber der Rechenweg dahin...?
Und dazu noch ne Frage, die ich einfach net verstehe....
Ein Vektor, z.B. [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] gibt ja eigentlich ne richtung an... Aber was sagt der ausgerechnete Punkts aus?
Die Mitte??
Wäre echt lieb, wen mir noch jemand die Fragen verständlich beantworten könnte, Steffi
|
|
|
| |
|
Hi, Steffi,
> Ich hab leider ein immens schweres Vorstellungsvermögen und
> versteh einfach nicht, wieso das so ist... Okay, dass man
> den Ortsvekor nehmen muss ist ja verständlich... Weil ich
> ja den PUNKT von M im Raum haben will, gell? Aber der
> Rechenweg dahin...?
>
> Und dazu noch ne Frage, die ich einfach net verstehe....
>
> Ein Vektor, z.B. [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] gibt ja eigentlich ne
> Richtung an...
Das stimmt! Denn wenn Du nur diesen Vektor kennst, kannst Du (ohne weitere Information) nicht mehr auf die Lage der Punkte A und B schließen!
> Aber was sagt der ausgerechnete Punkt aus?
>
> Die Mitte??
>
Natürlich kann man den Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] auch als Ortsvektor eines Punktes P interpretieren. Weiter aber hat der Punkt P mit der Strecke [AB] nichts zu tun!
Beispiel: A(1; -3; 2); B(5; 2; 0)
Dann ist [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 2 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ -2}.
[/mm]
Ein Vektor ist nun aber nicht EIN Pfeil, sondern alle Pfeile mit dieser Richtung, Orientierung und Länge. D.h. Du kannst denselben Vektor überall im KoSy zeichnen:
Zunächst zwischen den Punkten A und B, aber natürlich auch vom Nullpunkt aus.
Wenn Du dies tust, dann beginnt der Pfeil, den Du zeichnest, im Nullpunkt O und er endet (bzw. hat seine Spitze) in P(4; 5; -2).
Die Strecken [OP] und [AB] sind also parallel und gleich lang; ansonsten - ich wiederhole mich bewusst! - hat der Punkt P mit der Strecke [AB] im Normalfall nix zu tun!
Der Vollständigkeit halber rechne ich Dir noch die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke [AB] aus:
[mm] \overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*( \vektor{5 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}* \vektor{6 \\ -1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -0,5 \\ 1}.
[/mm]
Also: M(3; 0,5; 1). (Vergleich nochmal mit P!)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Mi 18.05.2005 | | Autor: | STeffichen |
DAAAAAAAAAAAAAAAAANKE!!!
Jetz hab selbst ich es verstanden und jetz is mir einiges klarer...
Vielen lieben Dank, Steffi
|
|
|
|
