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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Di 26.03.2013 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | In einem meiner Bücher findet sich als Bsp einer Menge, deren Abschluss gleich [mm] [0,\infty) [/mm] ist,folgende Menge:
[mm] \{2^a*3^b: a,b\in\mathbb Z\} [/mm] |
In meinen Augen ist das irgenwie nicht sofort ersichtlich, hat jemand eine Idee wie man das am besten zeigen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Di 26.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In einem meiner Bücher findet sich als Bsp einer Menge,
> deren Abschluss gleich [mm][0,\infty)[/mm] ist,folgende Menge:
>
> [mm]\{2^a*3^b: a,b\in\mathbb Z\}[/mm]
definieren wir mal
[mm] $$M:=\{2^a*3^b: a,b\in\mathbb Z\}\,.$$
[/mm]
> In meinen Augen ist das irgenwie nicht sofort ersichtlich,
In meinen auch nicht!
> hat jemand eine Idee wie man das am besten zeigen könnte?
Klar ist, dass $M [mm] \subseteq [0,\infty)$ [/mm] und weil [mm] $[0,\infty)$ [/mm] abgeschlossen ist, folgt
auch [mm] $\overline{M} \subseteq [0,\infty)\,.$
[/mm]
Es bleibt also [mm] $[0,\infty) \subseteq \overline{M}$ [/mm] zu zeigen. Sei also $x [mm] \in [0,\infty)\,.$ [/mm] Es reicht nun,
zu zeigen: Es gibt eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \in [/mm] M$ mit [mm] $x_n \to x\,.$ [/mm] Anders gesagt, es
ist zu zeigen:
Es gibt Folgen [mm] $(a_n)_n,\;(b_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IZ$ [/mm] mit
[mm] $$x_n=2^{a_n}*3^{b_n} \;\;\;\to\;\;\; x\;\;\;\text{ bei }n \to \infty\,.$$ [/mm]
Daran kannst Du Dich ja nun mal versuchen.
P.S. Erinnerungen: Aus $A [mm] \subseteq [/mm] B$ folgt [mm] $\overline{A} \subseteq \overline{B}$ [/mm] (der Strich drüber steht
für den Abschluss). Ist [mm] $A\,$ [/mm] bereits abgeschlossen, so gilt [mm] $A=\overline{A}\,.$ [/mm] Also genauer steht oben:
Klar ist $M [mm] \subseteq [0,\infty)\,,$ [/mm] und damit folgt [mm] $\overline{M} \subseteq \overline{[0,\infty)}=[0,\infty)\,.$ [/mm]
Warum reicht es, bei dem anderen die Existenz einer solchen Folge nachzuweisen? Nun, ganz
einfach:
Wenn Du $x [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] hast, und es eine Folge [mm] $(x_n)_n\$ [/mm] mit [mm] $x_n \in [/mm] M$ und [mm] $x_n \to x\,$ [/mm] gibt, dann
weißt Du wegen ![[]](/images/popup.gif) Satz 9.15 c) (klick!) sodann, dass
[mm] $$\lim_{n \to \infty}x_n \in \overline{M}$$
[/mm]
sein muss (beachte auch $M [mm] \subseteq \overline{M}$ [/mm] und [mm] $\overline{M}$ [/mm] ist nach Satz 9.13 (klick!)
abgeschlossen). Also folgt dann $x [mm] \in \overline{M}\,.$
[/mm]
P.S. Vielleicht kann man hier auch einfacher mit Dichtheitsargumenten und der Tatsache,
dass [mm] $\IQ_{\ge 0}=\{q \in \IQ:\;q \ge 0\}$ [/mm] dicht in [mm] $[0,\infty)$ [/mm] liegt, arbeiten. Oder man arbeitet
mit [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Ich denke mal, falls etwa Fred mitliest, hat er vielleicht sogar eine
viel bessere und schneller zum Ziel führerende Idee als meine Überlegungen oben ^^
(Ich hoffe mal, dass ich da keine Denkfehler gemacht habe!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Di 26.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
sei r [mm] \in \IR [/mm] gegeben.
Wenn man die Folge [mm] (a_n) [/mm] definiert durch
[mm] a_1 [/mm] = 2 , [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \begin{cases} 2a_n, & \mbox{für } a_n < r \\ a_n, & \mbox{für } a_n = r \\ \bruch{a_n}{3}, & \mbox{für } a_n > r \end{cases}
[/mm]
bliebe zu zeigen, dass [mm] (a_n) [/mm] eine mit dem Grenzwert r konvergente Teilfolge enthält.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Di 26.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> sei r [mm]\in \IR[/mm] gegeben.
meinst Du nicht eher $r [mm] \ge [/mm] 0$?
> Wenn man die Folge [mm](a_n)[/mm] definiert durch
> [mm]a_1[/mm] = 2 , [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\begin{cases} 2a_n, & \mbox{für } a_n < r \\ a_n, & \mbox{für } a_n = r \\ \bruch{a_n}{3}, & \mbox{für } a_n > r \end{cases}[/mm]
>
> bliebe zu zeigen, dass [mm](a_n)[/mm] eine mit dem Grenzwert r
> konvergente Teilfolge enthält.
>
> Gruß Sax.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Di 26.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja natürlich r [mm] \ge [/mm] 0. Es reicht sogar, rationale r zu betrachten.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Di 26.03.2013 | | Autor: | Lonpos |
Ist [mm] b_n [/mm] analog definiert für [mm] r\ge [/mm] 0?
Wie genau bist du vorgegangen die Folge genau so zu wählen? Ich habe es noch nicht zusammengebracht eine passende konvergente Tf zu konstruieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Di 26.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
der Name [mm] (a_n) [/mm] für die Folge war schlecht gewählt. Sie hat nichts mit dem Exponenten a zu tun. Ich hätte sie [mm] (x_n) [/mm] nennen sollen, wie in Marcels erster Antwort.
Ein alternativer Ansatz :
Wenn irgendwer zeigen kann, dass jede Gerade mit irrationaler Steigung im Koordinatensystem irgendwann mal einem Gitterpunkt mit ganzzahligen Koordinaten beliebig nahe kommt, kann man die Behauptung damit beweisen.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Di 26.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hi,
>
> ja natürlich r [mm]\ge[/mm] 0.
okay - dachte ich mir. 
> Es reicht sogar, rationale r zu
> betrachten.
Ja, weil - wie gesagt - [mm] $\IQ_{> 0}$ [/mm] dicht in [mm] $[0,\infty)\,.$ [/mm] (Ich gehe mal davon
aus, dass die Mittel, um das zu beweisen, zur Verfügung stehen.)
Übrigens, eine Umformulierung der Aufgabe wäre:
Man zeige, dass die Menge
[mm] $$M:=\{2^a*3^b:\;\;a,b \in \IZ\}$$
[/mm]
dicht in [mm] $\IR_{\ge 0}:=[0,\infty)\,$ [/mm] liegt.
Bei dieser Formulierung überzeugt man sich auch zunächst davon, dass
$$M [mm] \subseteq \IR_{\ge 0}$$
[/mm]
gilt - denn eigentlich ist das eine indirekte Behauptung, wenn man die zu
zeigende Aussage so formuliert. Und danach macht man das übliche: Für
jedes $x [mm] \ge [/mm] 0$ ist zu zeigen:
Für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt es ein $m [mm] \in [/mm] M$ mit
$$|x-m| < [mm] \varepsilon\,.$$
[/mm]
(Man kann auch [mm] "$\le$" [/mm] am Ende schreiben!)
Gruß,
Marcel
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