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| Aufgabe | Ic habe eine frage zur folgenden Definition:
Es sei X eine diskrete Zufallsvariable, d.h. [mm] P(X=x_i)\not=0 [/mm] nur für endlich viele oder abzählbar unendlich viele [mm] xin\IR.
[/mm]
[mm] f:\IR\to\IR, x\to\begin{cases} P(X=x_i), & \mbox{falls } x=x_i \mbox{ für ein} i=1,2,3,... \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
heißt Dichte der diskreten Zufallsvariable X
Dann gilt: Für jedes [mm] x\in\IR [/mm] existiert genau ein k mit [mm] x_k\le{x}
[mm] F(x)=P(X\le{x})=P(X=x_1\cup...\cup{X}=x_k)=P(X=x_1)+...+P(X=x_k)=\summe_{i=1}^{k}f(x_i)=\summe_{x_i\le{x}}f(x_i) [/mm] |
ich verstehe diesen Ausdruck nicht ganz:
[mm] f:\IR\to\IR, x\to\begin{cases} P(X=x_i), & \mbox{falls } x=x_i \mbox{ für ein} i=1,2,3,... \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
für [mm] x=x_i [/mm] mit i=1,2,3,.. wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Was meint man jetzt mit sonst Null?
Kann mir das jemand anhand eines Beispiels erklären?
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Hiho,
nimm beispielsweise eine Zufallsvariable, die mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{2^n}$ [/mm] die natürliche Zahl n liefert, also:
X=1 mit Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{2} [/mm]
X=2 mit Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{4} [/mm]
X=3 mit Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{8}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
dann ist die beschriebene Dichtefunktion Null für [mm] $x\in\IR\setminus\IN$ [/mm] und $f(n) = [mm] \frac{1}{2^n}$
[/mm]
Oder in Worten: Für jede nicht natürliche Zahl ist f identisch Null, an jeder natürlichen Zahl n springt sie kurz nach oben auf den Wert [mm] $\frac{1}{2^n}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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hallo,
> Hiho,
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> nimm beispielsweise eine Zufallsvariable, die mit
> Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] die natürliche Zahl n
> liefert, also:
>
> X=1 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{2}[/mm]
>
> X=2 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{4}[/mm]
>
> X=3 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{8}[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
>
> dann ist die beschriebene Dichtefunktion Null für
> [mm]x\in\IR\setminus\IN[/mm] und [mm]f(n) = \frac{1}{2^n}[/mm]
>
> Oder in Worten: Für jede nicht natürliche Zahl ist f
> identisch Null, an jeder natürlichen Zahl n springt sie
> kurz nach oben auf den Wert [mm]\frac{1}{2^n}[/mm]
>
aber für die nicht natürliche Zahl X=0,5 ist die Wahrscheinlichkeit nicht Null: [mm] f(0,5)=\frac{1}{2^{0,5}}=0,707
[/mm]
Oder ist es einfach so definiert, dass für nicht natürliche Zahlen die Wahrscheinlichkeit Null ist ?
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Hallo,
> hallo,
>
> > Hiho,
> >
> > nimm beispielsweise eine Zufallsvariable, die mit
> > Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] die natürliche Zahl n
> > liefert, also:
> >
> > X=1 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> >
> > X=2 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{4}[/mm]
> >
> > X=3 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{8}[/mm]
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > dann ist die beschriebene Dichtefunktion Null für
> > [mm]x\in\IR\setminus\IN[/mm] und [mm]f(n) = \frac{1}{2^n}[/mm]
> >
> > Oder in Worten: Für jede nicht natürliche Zahl ist f
> > identisch Null, an jeder natürlichen Zahl n springt sie
> > kurz nach oben auf den Wert [mm]\frac{1}{2^n}[/mm]
> >
>
> aber für die nicht natürliche Zahl X=0,5 ist die
> Wahrscheinlichkeit nicht Null:
> [mm]f(0,5)=\frac{1}{2^{0,5}}=0,707[/mm]
>
> Oder ist es einfach so definiert, dass für nicht
> natürliche Zahlen die Wahrscheinlichkeit Null ist ?
So ist die ZV gemeint, ja
Gruß
schachuzipus
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Hiho,
> aber für die nicht natürliche Zahl X=0,5 ist die
> Wahrscheinlichkeit nicht Null:
> [mm]f(0,5)=\frac{1}{2^{0,5}}=0,707[/mm]
>
> Oder ist es einfach so definiert, dass für nicht
> natürliche Zahlen die Wahrscheinlichkeit Null ist ?
naja, es gibt eben Zufallsvariablen, die als Ergebnis nur eine natürliche Zahl haben können.
z.B. nimm, weil viel naheliegender, die Zufallsvariable die dir die Augenzahl eines Würfelwurfs wiedergibt.
Dort ist natürlich $P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = P(X=6) = [mm] \frac{1}{6}$
[/mm]
Die Frage nach: Wie wahrscheinlich ist, dass eine 0.5 gewürfelt wird?
Kann natürlich nur lauten: Die Wahrscheinlichkeit ist Null.
Gruß,
Gono
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Ich verstehe nun das folgende nicht:
> Dann gilt: Für jedes [mm]x\in\IR[/mm] existiert genau ein k mit
> [mm]x_k\le{x}
> für alle i), so dass
>
> [mm]F(x)=P(X\le{x})=P(X=x_1\cup...\cup{X}=x_k)=P(X=x_1)+...+P(X=x_k)=\summe_{i=1}^{k}f(x_i)=\summe_{x_i\le{x}}f(x_i)[/mm]
Vor allem verwirrt mich das Ausdruck innerhalb der Klammer: (oder [mm]x
das eine [mm] x_i [/mm] ist größer als x und das andere [mm] x_i [/mm] ist kleiner gleich. Ich verstehe diese Information nicht. Kann jemand erklären was mir die Information sagen soll?
Ich verstehe die letzte gleichung so: für [mm] x_k=3
[/mm]
[mm] F(x)=P(X\le{x})=P(X=x_1\cup{x_2}\cup{x_3})=P(X=x_1)+P(X=x_2)+P(X=x_3)
[/mm]
Ich verstehe die letzten Terme nicht: [mm] \summe_{i=1}^{k}f(x_i)=\summe_{x_i\le{x}}f(x_i)[/mm]
[/mm]
vorallem das letzte Term verstehe ich nicht
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Hiho,
ok, wir hatten das mit dem Beispiel der natürlichen Zahlen ja schon erklärt. Bleiben wir mal dabei, dass X also nur natürliche Zahlen als Wertebereich hat.
Die obige Ausführung sagt nun einfach nur folgendes aus:
Für jedes [mm] $x\in\IR$, [/mm] also jedes reelle und nicht mehr natürliche x, gilt nun genau einer der drei Fälle:
> > Dann gilt: Für jedes [mm]x\in\IR[/mm] existiert genau ein k mit [mm]x_k\le{x}
1.) x liegt zwischen zwei natürlichen Zahlen (z.B [mm] $\sqrt{2}$)
[/mm]
>oder [mm]x
2.) x ist kleiner als jede natürliche Zahl
> oder [mm]x\ge{x_i}[/mm]
3.) x ist größer als jede natürliche Zahl
Der letzte Fall kann bei den natürlichen Zahlen natürlich nicht auftreten, aber wenn man als diskreten Wertebereich bspw. mal alle rationalen Zahlen in [0,1] betrachtet, dann schon.
Hast du das soweit verstanden?
Gruß,
Gono
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Ich verstehe foglende Gleichung nicht:
[mm] P(X=x_1)+...+P(X=x_k)=\summe_{i=1}^{k}f(x_i)
[/mm]
für k=2 gilt:
[mm] P(X=x_1)+P(X=x_2)=f(x_1)+f(x_2)
[/mm]
aber das kann doch nicht sein oder? Laut der gleichung gilt Wahrscheinlichkeit = Dichte
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Fr 11.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe foglende Gleichung nicht:
>
> [mm]P(X=x_1)+...+P(X=x_k)=\summe_{i=1}^{k}f(x_i)[/mm]
>
> für k=2 gilt:
>
> [mm]P(X=x_1)+P(X=x_2)=f(x_1)+f(x_2)[/mm]
>
> aber das kann doch nicht sein oder? Laut der gleichung gilt
> Wahrscheinlichkeit = Dichte
Das folgt doch aus der Definition des Begriffs "Dichte" !
Ist X eine diskrete Zuvallsvariable, die die Werte [mm] x_1,x_2,... [/mm] annehmen kann, so gilt für die Dichte f von X:
[mm] f(x_i)=P(X=x_i)
[/mm]
(i=1,2,...).
FRED
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> Das folgt doch aus der Definition des Begriffs "Dichte" !
>
> Ist X eine diskrete Zuvallsvariable, die die Werte
> [mm]x_1,x_2,...[/mm] annehmen kann, so gilt für die Dichte f von
> X:
>
> [mm]f(x_i)=P(X=x_i)[/mm]
>
> (i=1,2,...).
>
Das finde ich merkwürdig, weil die gleichung meines wissens nach unterschiedliche Einheiten haben.
Die dichte [mm] f(x_i) [/mm] hat die Einheit Wahrscheinlichkeit/"länge" ("Länge" ist bestimmt nicht das richtige wort, aber mir fällt kein besseres wort ein)
und [mm] P(X=x_i) [/mm] hat die Einheit Wahrscheinlichkeit
betrachtet man eine stetige Zufallsvariable, dann gilt:
[mm] P(a\le{X}\le{b})=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] P(a\le{X}\le{b}) [/mm] hat die Einheit Wahrscheinlichkeit und
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] hat auch die Einheit Wahrscheinlichkeit, weil f(x) die Einheit Wahrscheinlichkeit /Länge hat und dx die Einheit "länge" hat. Wenn man f(x) mit dx multipliziert, kommt die Einheit Wahrscheinlichkeit raus. Die Einheiten auf beiden Seiten passen also.
aber bei der Gleichung
[mm]f(x_i)=P(X=x_i)[/mm]
passen die Einheiten nicht. Ist gilt die Gleichung trotzdem?
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Hiho,
> Das finde ich merkwürdig, weil die gleichung meines
> wissens nach unterschiedliche Einheiten haben.
Es gibt keine Einheiten.
> Die dichte [mm]f(x_i)[/mm] hat die Einheit
> Wahrscheinlichkeit/"länge" ("Länge" ist bestimmt nicht
> das richtige wort, aber mir fällt kein besseres wort ein)
>
> und [mm]P(X=x_i)[/mm] hat die Einheit Wahrscheinlichkeit
Beides sind nichts anderes als reelle Zahlen. Also nix mit Einheiten.
> betrachtet man eine stetige Zufallsvariable, dann gilt:
>
> [mm]P(a\le{X}\le{b})=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> [mm]P(a\le{X}\le{b})[/mm] hat die Einheit Wahrscheinlichkeit
Wie kommst du auf sowas?
[mm]P(a\le{X}\le{b})[/mm] ist einfach eine reelle Zahl.
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] hat auch die Einheit
> Wahrscheinlichkeit, weil f(x) die Einheit
> Wahrscheinlichkeit /Länge hat und dx die Einheit "länge"
> hat. Wenn man f(x) mit dx multipliziert, kommt die Einheit
> Wahrscheinlichkeit raus. Die Einheiten auf beiden Seiten
> passen also.
Lass mich raten: Du bist Physiker.
Komm mal weg davon
Gruß,
Gono
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