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| Aufgabe | In einer Werkstatt werden Autos repariert.
Die Wartezeit T sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit dem Parameter
[mm] \lambda [/mm] = 0,2 [mm] (Stunden^{-1}) [/mm] und der
Verteilungsfunktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
bzw. der Dichtefunktion [mm] f(x)=\begin{cases} \lambda - e^{-\lambda x}, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeits dafür, dass die Reparaturzeit höchstens fünf Stunden beträgt?
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So, nun mein Problem: ich habe gar keine richtige Ahnung wie man an die Aufgabe herangehen soll. Und dann irretiert mich noch das "höchstens" in der Aufgabenstellung!
Also wenn jemand, mir bei dieser Aufgabe mal bitte erklären kann, wie man an so eine Aufgabe herangeht und wie man sie dann lösen muss, wäre ich sehr dankbar!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Framl |
Hi,
ich glaube die Dichtefunktion für [mm] $x\geq [/mm] 0$ lautet [mm] $f(x)=\lambda\cdot e^{-\lambda x}$
[/mm]
Zunächst zum Allgemeinen Vorgehen:
Die Dichtefunktion hat die Eigenschaft, dass sie über ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] integriert den Wert $1$ hat - also das "sichere Ereignis":
[mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x)dx=1$
Die W.keit, dass die Zufallsvariable in einem bestimmten Bereich liegt (in deinem Fall von - [mm] $\infty$ [/mm] bis 5 bzw. von 0 bis 5, denn für [mm] $x\in (-\infty,0)$ [/mm] ist $f(x)=0$) ergibt sich dann, wenn man die Integralgrenzen dementsprechend wählt.
Bei dem Beispiel also (mit [mm] $\lambda=0.2$)
[/mm]
[mm] $\mathbb{P}(X\leq 5)=\int_{-\infty}^5 f(x)dx=\underbrace{\int_{-\infty}^0 f(x)dx}_{=0}+\int_0^5 f(x)dx=\int_0^5 [/mm] 0.2 [mm] \cdot e^{-0.2\cdot x}dx=...$
[/mm]
nebenbei:
Die Modellierung eines "Wartezeitproblems" mit der Exponentialverteilung (Spezialfall der Gamma-Verteilung) ist eben die "typische Verteilung".
Gruß Framl
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Die Verteilungsfunktion ist doch gegeben. Eigentlich musst du dir nur klarmachen, was die genau angibt - nämlich die Wahrscheinlichkeit, dass die zugehörige Zufallsvariable höchstens (da hast du's) so groß ist wie x. Alles was du hier tun musst, ist die richtigen Werte für x und [mm] \lambda [/mm] einzusetzen und das Ergebnis zu vereinfachen.
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also setzte ich dann für x die 5 stunden ein und für [mm] \lambda [/mm] 0,2 ein?? und muss ich das mir der dichte UND verteilungsfunktion rechnen? oder kann ich mich für eine der beiden varianten entscheiden?
vielen dank für eure hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Di 22.07.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin ,
> also setzte ich dann für x die 5 stunden ein und für
> [mm]\lambda[/mm] 0,2 ein??
Ja.
> und muss ich das mir der dichte UND
> verteilungsfunktion rechnen?
Von "Muessen" kann keine Rede sein. Fuer deine Aufgabe reicht es,
mit der Verteilungsfunktion zu arbeiten.
> oder kann ich mich für eine
> der beiden varianten entscheiden?
Fuer diejenige, mit der du das korrekte Ergebnis erhaeltst. Bedenke
aber, dass dir mit der Verteilungsfunktion das laestige Integrieren
bereits abgenommen ist.
vg Luis
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