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| Aufgabe | Besitzt die Verteilung von [mm] $R_1$ [/mm] die Dichte [mm] $f_1$ [/mm] (bzgl. des Lebesgue Maßes oder des W-Maßes Q) und die bedingten Verteilungen von [mm] $R_t$ [/mm] gegeben [mm] $R_{t-1}= r_{t-1},\dots,R_1=r_1$ [/mm] die Dichte [mm] $f_t(.|r_{t-1},\dots,r_1)$ [/mm] für [mm] $L(R_1,\dots,R_{t-1})$-f.a. $(r_1,\dots,r_{t-1})$, [/mm] so besitzt der Vektor [mm] $(R_1,\dots,R_n)$ [/mm] die Dichte
[mm] $f(r_1,\dots,r_n)=f_1(r_1)\prod_{t=2}^{n} f_t(r_t|r_{t-1},\dots,r_1),\quad (r_1,\dots,r_n)\in\mathbb{R}^n$ [/mm] |
Hallo, könnt ihr mir bei diesem Beweis behilflich sein?
Ich habe den Fall für diskrete ZV, mal gemacht. Jedoch benötige ich den stetigen Fall, aber dann kann ich den Beweis so ja nicht führen...
Könnt ihr mir helfen?
Seien [mm] $R_1\dots,R_n$ [/mm] ZV diskret, so [mm] gilt\\
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[mm] \\
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[mm] $P(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1},\dots,R_1=r_1)$=$\frac{P\{R_t=r_t,R_{t-1}=r_{t-1},\dots,R_1=r_1\}}{P\{R_{t-1}=r_{t-1},\dots,R_1=r_1\}}$ \\
[/mm]
[mm] \\
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und demnach gilt [mm] \\
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[mm] \\
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[mm] $P\{R_1=r_1\}*\prod_{t=2}^{n}P(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1},\dots,R_1=r_1)$\\
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[mm] \\
[/mm]
[mm] =$P\{R_1=r_1\}*\frac{P\{R_2=r_2,R_1=r_1\}}{P\{R_1=r_1\}}*\frac{P\{R_3=r_3,\dots,R_1=r_1\}}{P\{R_2=r_2,R_1=r_1\}}*\dots*\frac{P\{R_{n-1}=r_{n-1},\dots,R_1=r_1\}}{P\{R_{n-2}=r_{n-2},\dots,R_1=r_1\}}
[/mm]
[mm] *\frac{P\{R_n=r_n,\dots,R_1=r_1\}}{P\{R_{n-1}=r_{n-1},\dots,R_1=r_1\}}\\$
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[mm] \\
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[mm] =$P\{(R_1,\dots,R_n)=(r_1,\dots,r_n)\}$
[/mm]
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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