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| Aufgabe | Die Zufallsvariablen X und Y besitzen die gemeinsame Dichte
[mm] f_{X,Y}(x,y) [/mm] = [mm] \begin{cases} (x+\frac{1}{2})(y+\frac{1}{2}), & 0 \le x,y \le 1,\\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die Dichte von [mm] X\*Y.
[/mm]
(b) Bestimmen Sie die Dichte von [mm] \frac{X}{Y}. [/mm] |
Hallo an alle :)
ehrlich gesagt ist diese Aufgabe leicht, kein langes Nachdenken über die Lösung, nur Rechnen und Benutzen von zwei wichtigen Formulas. Mein Problem ist, dass ich ein Integral bekomme und weiss nicht, wie ich weitermachen soll.
Mein Lösungsansatz:
Zuerst überprüfen wir, dass X und Y unabhängig sind:
[mm] f_{X}(x) [/mm] = [mm] \integral_{\IR}{f(x,y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right) dy} [/mm] = [mm] x+\frac{1}{2},$ [/mm] 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1$
[mm] f_{Y}(y) [/mm] = [mm] \integral_{\IR}{f(x,y) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right) dx} [/mm] = [mm] y+\frac{1}{2}, [/mm] $ 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$
Da Zufallsvariablen X und Y absolutstetig und unabhängig mit Dichten [mm] f_{X} [/mm] und [mm] f_{Y} [/mm] sind, sind die Dichten [mm] f_{XY} [/mm] und [mm] f_{X/Y} [/mm] gegeben als
(a) [mm] f_{XY}(z) [/mm] = [mm] \integral_{\IR}{\frac{1}{|t|}f_{X}(t) f_{Y} \left(\frac{z}{t}\right) dt} \qquad \forall [/mm] z [mm] \in \IR
[/mm]
= [mm] \integral_{\IR}{\frac{1}{|t|}\left(t+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{z}{t}+\frac{1}{2}\right) dt} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{|t|} \left(z + \frac{t}{2} + \frac{z}{2t} +\frac{1}{4} \right) dt} [/mm] = [mm] \ldots
[/mm]
und weiter weiss ich schon nicht, denn nach dem Substituieren von Grenzen bekomme ich keinen Ausdruck, sondern nur [mm] $\pm \infty$.
[/mm]
(b) [mm] f_{X/Y}(z) [/mm] = [mm] \integral_{\IR}{|t|f_{X}(zt) f_{Y}(t) dt} \qquad \forall [/mm] z [mm] \in \IR [/mm] = [mm] \integral_{\IR}{|t|\left(zt+\frac{1}{2}\right)\left(t+\frac{1}{2}\right) dt} =\integral_{-\infty}^{\infty}{|t|\left( zt^2 + \frac{zt}{2} + \frac{t}{2} + \frac{1}{4}\right) dt} =\ldots [/mm]
und hier habe ich dasselbe Problem. Ich wäre sehr gerne, wenn mir jemand ein Tipp geben kann :)
Schönen Abend!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Zufallsvariablen X und Y besitzen die gemeinsame Dichte
> [mm]f_{X,Y}(x,y)[/mm] = [mm]\begin{cases} (x+\frac{1}{2})(y+\frac{1}{2}), & 0 \le x,y \le 1,\\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie die Dichte von [mm]X\*Y.[/mm]
> (b) Bestimmen Sie die Dichte von [mm]\frac{X}{Y}.[/mm]
> Hallo an alle :)
>
> ehrlich gesagt ist diese Aufgabe leicht, kein langes
> Nachdenken über die Lösung, nur Rechnen und Benutzen von
> zwei wichtigen Formulas. Mein Problem ist, dass ich ein
> Integral bekomme und weiss nicht, wie ich weitermachen
> soll.
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> Zuerst überprüfen wir, dass X und Y unabhängig sind:
>
> [mm]f_{X}(x)[/mm] = [mm]\integral_{\IR}{f(x,y) dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right) dy}[/mm]
> = [mm]x+\frac{1}{2},[/mm] [mm]0 \le y \le 1[/mm]
>
> [mm]f_{Y}(y)[/mm] = [mm]\integral_{\IR}{f(x,y) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right) dx}[/mm]
> = [mm]y+\frac{1}{2},[/mm] [mm]0 \le x \le 1[/mm]
>
> Da Zufallsvariablen X und Y absolutstetig und unabhängig
> mit Dichten [mm]f_{X}[/mm] und [mm]f_{Y}[/mm] sind, sind die Dichten [mm]f_{XY}[/mm]
> und [mm]f_{X/Y}[/mm] gegeben als
>
> (a) [mm]f_{XY}(z)[/mm] = [mm]\integral_{\IR}{\frac{1}{|t|}f_{X}(t) f_{Y} \left(\frac{z}{t}\right) dt} \qquad \forall[/mm]
> z [mm]\in \IR[/mm]
> =
> [mm]\integral_{\IR}{\frac{1}{|t|}\left(t+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{z}{t}+\frac{1}{2}\right) dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{|t|} \left(z + \frac{t}{2} + \frac{z}{2t} +\frac{1}{4} \right) dt}[/mm]
> = [mm]\ldots[/mm]
>
> und weiter weiss ich schon nicht, denn nach dem
> Substituieren von Grenzen bekomme ich keinen Ausdruck,
> sondern nur [mm]\pm \infty[/mm].
Ehrlich gesagt kann ich dir nicht sagen, ob dein Weg richtig ist. Deswegen weiß ich auch nicht, warum du die Grenzen substituieren willst.
Wenn ich nur das Integral anschaue, dann ist das ein sehr einfacher Integrand und wenn t über ganz [mm] \IR [/mm] laufen soll, dann sind die Grenzen doch auch fest.
Problem: Das Integral existiert so, wie es da steht nicht, weil in der Stammfunktion sowohl [mm] \ln{t} [/mm] als auch Potenzen von t vorkommen.
Auch die numerische Auswertung für ein bestimmtes z liefert kein Ergebnis.
Vielleicht prüfst du nochmal inhaltlich nach, ob das alles passt.
>
> (b) [mm]f_{X/Y}(z)[/mm] = [mm]\integral_{\IR}{|t|f_{X}(zt) f_{Y}(t) dt} \qquad \forall[/mm]
> z [mm]\in \IR[/mm] =
> [mm]\integral_{\IR}{|t|\left(zt+\frac{1}{2}\right)\left(t+\frac{1}{2}\right) dt} =\integral_{-\infty}^{\infty}{|t|\left( zt^2 + \frac{zt}{2} + \frac{t}{2} + \frac{1}{4}\right) dt} =\ldots[/mm]
>
>
> und hier habe ich dasselbe Problem. Ich wäre sehr gerne,
> wenn mir jemand ein Tipp geben kann :)
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> Schönen Abend!
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
lg weightgainer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:39 Fr 07.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin lugalzagezi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ohne das genau uberprueft zu haben bist du vermutlich zu kuehn mit den Grenzen bei der Integration umgegangen. Es hilft vielfach, die Dichten mit Hilfe der Indikatorfunktion zu schreiben. So ist beispielsweise [mm] $f_X(x)=(x+1/2)1_{[0,1]}(x)$.
[/mm]
vg Luis
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Hallo Luis und alle :)
danke für die Tipps, ich habe sie benutzt und sowas ist rausgekommen:
Lösung:
Die Teildichten sind folgenderweise definiert:
[mm] f_{X}(x) [/mm] = [mm] \left( x+\frac{1}{2}\right)*1_{\left[0,1\right]}(x)
[/mm]
[mm] f_{Y}(y) [/mm] = [mm] \left( y+\frac{1}{2}\right)*1_{\left[0,1\right]}(y)
[/mm]
(a) [mm] f_{XY}(z) [/mm] = [mm] \int_{\IR}\frac{1}{|t|}f_{X}(t)f_{Y}\left(\frac{z}{t}\right)dt [/mm] = [mm] \int_{\IR}\frac{1}{|t|}\left(t+\frac{1}{2}\right)*1_{\left[0,1\right]}(t)\left(\frac{z}{t}+\frac{1}{2}\right)*1_{\left[0,1\right]}\left(\frac{z}{t}\right)dt \\ [/mm]
Es muss gelten [mm] 0\le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 und [mm] 0\le \frac{z}{t} \le [/mm] 1, d. h. [mm] 0\le z\le t\le [/mm] 1. So können wir den Betrag von t loslasen.
= [mm] \int_{z}^{1}\frac{1}{t}\left(z+\frac{t}{2}+\frac{z}{2t}+\frac{1}{4}\right)dt [/mm] = [mm] \left[ z\log |t|\right]_{z}^{1} [/mm] + [mm] \left[ \frac{t}{2}\right]_{z}^{1}+\left[- \frac{z}{2t} \right]_{z}^{1}+\left[\frac{\log|t|}{4}\right]_{z}^{1}\\ [/mm] = [mm] \frac{1}{4}-z-\left( z+\frac{1}{4}\right)\log|z|
[/mm]
(b) [mm] f_{X/Y}(z) [/mm] = [mm] \int_{\IR}|t|f_{X}(zt)f_{Y}(t)dt [/mm] = [mm] \int_{\IR}|t|\left(zt+\frac{1}{2}\right)*1_{[0,1]}(zt)\left(t+\frac{1}{2}\right)*1_{[0,1]}(t)dt [/mm]
Analog wie (a) können wir den Betrag loslasen, denn es gilt [mm] 0\le t\le [/mm] 1 und [mm] 0\le t\le \frac{1}{z}, [/mm] d. h. [mm] 0\le t\le \frac{1}{z}. [/mm] Aber [mm] z\not= [/mm] 0.
= [mm] \int_{0}^{\frac{1}{z}}t\left(zt^2+\frac{zt}{2}+\frac{t}{2}+\frac{1}{4} \right) [/mm] dt = [mm] \left[ \frac{zt^4}{4}\right]_{0}^{\frac{1}{z}} [/mm] + [mm] \left[\frac{zt^3}{6} \right]_{0}^{\frac{1}{z}} [/mm] + [mm] \left[ \frac{t^3}{6} \right]_{0}^{\frac{1}{z}} [/mm] + [mm] \left[ \frac{t^2}{8} \right]_{0}^{\frac{1}{z}} [/mm] = [mm] \frac{5}{12*z^3} [/mm] + [mm] \frac{7}{24*z^2} \forall z\in \IR \backslash [/mm] {0}
Ist meine Lösungsfolge richtig? Danke für jede Antwort.
Lg, Lugalzagezi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 So 09.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
> [mm]\int_{z}^{1}\frac{1}{t}\left(z+\frac{t}{2}+\frac{z}{2t}+\frac{1}{4}\right)dt[/mm]
> = [mm]\left[ z\log |t|\right]_{z}^{1}[/mm] + [mm]\left[ \frac{t}{2}\right]_{z}^{1}+\left[- \frac{z}{2t} \right]_{z}^{1}+\left[\frac{\log|t|}{4}\right]_{z}^{1}\\[/mm]
> = [mm]\frac{1}{4}-z-\left( z+\frac{1}{4}\right)\log|z|[/mm]
Mathematica errechnet fuer das Integral
$ [mm] \frac{1}{4} [/mm] (-4 z-4 z [mm] \log (z)-\log [/mm] (z)+4)$
vg Luis
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Hallo luis :)
ist richtig, [mm] z\ge0 [/mm] und dazu habe ich noch ein "-" vergessen. Jetzt stimmt's. Danke :)
Schönen Tag!
Lg, lugalzagezi
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