Dichte bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Fr 05.02.2010 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | Es seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. X sei gleichförmig verteilt auf dem Intervall [0,1]. Y sei Exp(1)-verteilt.
Bestimmen Sie eine Dichte von Z=X+Y |
also ich hab da so angefangen, dass ich die dichtefunktionen bestimme:
[mm] f_{X}=1 [/mm] * [0,1]
[mm] f_{Y}= \lambda e^{-\lambda x}
[/mm]
Um die Dichte von X+Y zu bestimmen gilt doch:
[mm] f_{X+Y} (z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X} (\nu) f_{Y} (z-\nu)} d\nu
[/mm]
Muss ich die Funktionen jetzt einfach einsetzen? Und was passiert mit dem Intervall von [0,1]? Und was mache ich mit dem [mm] \nu [/mm] und [mm] z-\nu??
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo elba,
die Dichte bei so einer Summe ergibt sich aus der Faltung der Einzeldichten. Die Exponentialverteilung ist nur positive Werte definiert, die konstante Dichte läuft zwischen 0 und 1.
Vorschlag: Spiegele die konstante Dichte an der [mm] \nu [/mm]-Achse und löse das Faltungsintegral, das aus zwei Anteilen bestehen wird, je nachdem, ob die konstante Dichte schon komplett in der Exponentialdichte liegt oder noch nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Infinit |
.... und hier ist ein Thread mit den gleichen Dichten.
Viel Spaß beim Nachverfolgen,
Infinit
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> Es seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. X sei
> gleichförmig verteilt auf dem Intervall [0,1]. Y sei
> Exp(1)-verteilt.
> Bestimmen Sie eine Dichte von Z=X+Y
> also ich hab da so angefangen, dass ich die
> dichtefunktionen bestimme:
> [mm]f_{X}=1[/mm] * [0,1]
> [mm]f_{Y}= \lambda e^{-\lambda x}[/mm]
>
> Um die Dichte von X+Y zu bestimmen gilt doch:
>
> [mm]f_{X+Y} (z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X} (\nu) f_{Y} (z-\nu)} d\nu[/mm]
>
> Muss ich die Funktionen jetzt einfach einsetzen? Und was
> passiert mit dem Intervall von [0,1]? Und was mache ich mit
> dem [mm]\nu[/mm] und [mm]z-\nu\ \ ??[/mm]
Hallo elba,
falls deine Formel so stimmt, sollte es mit schlichtem
Einsetzen sehr leicht gehen. Da [mm] f_X(t)=0 [/mm] für alle t aus-
serhalb des Intervalls [0..1] und [mm] f_X(t)=1 [/mm] innerhalb, gilt:
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X} (t)*f_{Y} (z-t)}\ [/mm] dt\ =\ [mm] \integral_0^1{\underbrace{f_{X} (t)}_1*f_{Y} (z-t)}\ [/mm] dt\ =\ [mm] \integral_0^1{f_{Y} (z-t)}\ [/mm] dt$
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Diese Vereinfachung gilt nur für einen z-Wert, nämlich für z = 1. Die Dichte muss aber allgemein von z abhängen.
Viele Grüße,
Infinit
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> Diese Vereinfachung gilt nur für einen z-Wert, nämlich
> für z = 1. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
nein, weshalb denn ???
> Die Dichte muss aber allgemein von z abhängen.
Tut sie auch.
Noch eine kleine Bemerkung zur Integration:
Man muss berücksichtigen, dass [mm] f_Y(z-t)=0 [/mm] ist, falls z-t<0 .
Mein Ergebnis:
$\ [mm] f_{X+Y} [/mm] (z)\ =\ [mm] \begin{cases} e^{-\lambda*z}*\left[e^{\lambda*z}-1\right]& \mbox{falls}\quad 0\le z\le1 \\ e^{-\lambda*z}*\left[e^{\lambda}-1\right] & \mbox{falls}\quad z\ge1 \end{cases}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Sorry, da wir ich mit den Integrationsvariablen durcheinandergekommen.
Viele Grüße,
Infinit
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