Dichte einer ZVA < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | X sei eine reelwertige Zuffallsvariable, deren Verteilung eine stetige Dichte f bzgl des Lebesguemaßes besitzt. Besitzt auch die ZVA Y = [mm] X^4 [/mm] eine Dichte? Berchnen Sie diese gegebenfalls. |
Hi,
bei dieser Aufgabe habe ich wirklich keine Ahnung wie man anfangen muss, deshalb kann ich hier auch nicht viel schreiben... Ist eine Klausurvorbereitungsaufgabe und habe leider keine Lösungen.
Man müsste ja irgendwie zeigen das sie stetig ist auf einem Intervall oder so oder?
•Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 So 02.02.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin FreddyzZz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ein Tipp: [mm] $P(X^4\le z)=P(-\sqrt[4]{z}\le X\le\sqrt[4]{z})$ [/mm] fuer [mm] $z\ge0$.
[/mm]
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Hi Luis, danke für deinen Ansatz, ich kenne so eine ähnliche Aufgabe, dort ist aber vorgegeben das die Variable einer Gleichverteilung folgt und somit f(x) = 1/2, das fehlt mir hier irgendwie...
wie du sagtest:
$ [mm] P(X^4\le z)=P(-\sqrt[4]{z}\le X\le\sqrt[4]{z}) [/mm] $ fuer $ [mm] z\ge0 [/mm] $.
= [mm] F(\sqrt[4]{z} [/mm] ) - [mm] F(-\sqrt[4]{z} [/mm] ) jetzt habe ich ja aber keine Verteilerfunktion mit der ich weiter machen könnte, oder übersehe ich da was? Oder kann ich sagen wenn X eine stetige Dichte hat dann muss auch die vierte Wurzel eine haben...
Danke für deine Hilfe!
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Hiho,
> [mm]P(X^4\le z)=P(-\sqrt[4]{z}\le X\le\sqrt[4]{z})[/mm] fuer [mm]z\ge0 [/mm].
> = [mm]F(\sqrt[4]{z}[/mm] ) - [mm]F(-\sqrt[4]{z}[/mm] )
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt habe ich ja aber keine Verteilerfunktion mit der ich weiter machen könnte, oder übersehe ich da was?
Du hast die Verteilungsfunktion doch eben berechnet!!
Du hast doch gerade gezeigt:
[mm] F_{X^4}(z) [/mm] = [mm] P(X^4\le [/mm] z) = [mm] F_X(\sqrt[4]{z}) [/mm] - [mm] F_X(-\sqrt[4]{z})$
[/mm]
Und wenn du die Verteilungsfunktion von [mm] X^4 [/mm] kennst, ergibt sich daraus die Dichte wodurch?
Gruß,
Gono.
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ähh, ja sorry ich meinte das ich keine Verteilung gegeben habe, also nichts einsetzen kann. Die Dichte ist ja nun die Ableitung, aber da ich nichts gegeben habe, verstehe ich nicht wie ich davon nun eine Ableitung machen kann -.-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 So 02.02.2014 | | Autor: | luis52 |
> verstehe ich
> nicht wie ich davon nun eine Ableitung machen kann -.-
>
Wie leitet man denn eine Differenz ab? Und was besagt die Kettenregel?
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Hi,
$ [mm] F_{X^4}(z) [/mm] $ = $ [mm] P(X^4\le [/mm] z) = $ [mm] F_X(\sqrt[4]{z}) [/mm] $ - $ [mm] F_X(-\sqrt[4]{z})$ [/mm] $ = [mm] \integral_{-\sqrt[4]{z}}^{\sqrt[4]{z}}{f_X(z) dz}
[/mm]
aber genau jetzt verstehe ich ja nicht was ich ableiten soll.... Habe ja keine Verteilung gegeben, also keine Funktion.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 So 02.02.2014 | | Autor: | luis52 |
> aber genau jetzt verstehe ich ja nicht was ich ableiten
> soll.... Habe ja keine Verteilung gegeben, also keine
> Funktion.
Doch, eine Verteilung mit Verteilungsfunktion [mm] $F_X$ [/mm] und Dichte [mm] $f_X=F_X'$.
[/mm]
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Hm? Sorry, verstehe nicht was du damit meinst. Das f(x) die Ableitung von F(X) ist, ok, das verstehe ich, aber was mir das bringt?
Dann könnte ich ja bei jeder Aufgabe wo nach einer Dichte gefragt ist einfach hinschreiben f(x) ist die Dichte...
Oder übersehe ich hier irgendwas? Ich habe doch noch nichts gemacht außer Für X [mm] X^4 [/mm] einzusetzen und die Verteilungsfkt hinzuschreiben....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 02.02.2014 | | Autor: | luis52 |
Wenn die Verteilungsfunktion von [mm] $X^4$ [/mm] gegeben ist durch $ [mm] F_{X^4}(z) [/mm] = [mm] P(X^4\le [/mm] z) = [mm] F_X(\sqrt[4]{z}) [/mm] - [mm] F_X(-\sqrt[4]{z})$ [/mm] dann ist die Dichte
[mm] $f_{X^4}(z)=F_{X^4}'(z) [/mm] = [mm] F_X'(\sqrt[4]{z}) [/mm] - [mm] F_X'(-\sqrt[4]{z}) [/mm] = [mm] \frac{1}{4}z^{-3/4}f_X(\sqrt[4]{z}) +\frac{1}{4}z^{-3/4} f_X(-\sqrt[4]{z})= \frac{1}{2}z^{-3/4}f_X(\sqrt[4]{z})$ [/mm] .
Dieses war zu bestimmen.
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super, danke!
Habe nur noch eine kleine Frage, wieso kann man am Ende die beiden "f" zusammenfassen?
[mm] \frac{1}{4}z^{-3/4}f_X(\sqrt[4]{z}) +\frac{1}{4}z^{-3/4} f_X(-\sqrt[4]{z})= \frac{1}{2}z^{-3/4}f_X(\sqrt[4]{z})
[/mm]
Sind die nicht unterschiedlich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 So 02.02.2014 | | Autor: | luis52 |
> super, danke!
> Habe nur noch eine kleine Frage, wieso kann man am Ende
> die beiden "f" zusammenfassen?
> [mm]\frac{1}{4}z^{-3/4}f_X(\sqrt[4]{z}) +\frac{1}{4}z^{-3/4} f_X(-\sqrt[4]{z})= \frac{1}{2}z^{-3/4}f_X(\sqrt[4]{z})[/mm]
>
> Sind die nicht unterschiedlich?
Stimmt. Darf man nicht.
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