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| Aufgabe | Gegeben sei [mm] f_{XY}=\frac{1}{\pi}\cdot\mathbb{I}_{\{x^{2}+y^{2}\leq1\}}.
[/mm]
Dies soll die gemeinsame Dichte eines Punktes Q=(X,Y) im Einheitskreis sein. Weisen Sie nach, dass [mm] f_{XY} [/mm] wirklich eine Dichte ist.
Bestimmen Sie ausgehend von der gemeinsamen Dichte eine gemeinsame Verteilungsfunktion. |
Hallo,
was ich machen muss weiss ich prinzipiell schon.
Zunächst ist zu zeigen: [mm] \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{XY}(x,y)dydx=1.
[/mm]
Mir ist hier aber nicht so ganz klar, welche Grenzen ich bei den Integralen einsetzen muss, ich würde für das erste -1 und 1 nehmen, aber was kommt dann an das zweite Integral? Es muss ja am Ende auch irgendwie das [mm] \pi [/mm] rausfliegen.
Naja für die Verteilungsfunktion macht man ja im Prinzip das Gleiche, nur das man über andere Grenzen integriert.
Eigentlich müsste das doch dann sein: P(X=a, [mm] Y=b)=\int_{-\infty}^{a}\int_{-\infty}^{b}f_{XY}(x,y)dydx [/mm] oder nicht? Aber kann ich das so einfach ausrechnen, denn z.B. muss ja falls a=b=1 ist [mm] P_{XY}(a,b)=0 [/mm] sein, oder muss man die Grenzen wieder anders setzen?
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Do 11.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Sleeper,
warum so kompliziert? Die Menge [mm] $\{(x,y)\mid\mathbb{I}_{\{x^{2}+y^{2}\leq1\}}(x,y)=1\}$ [/mm] beschreibt einen Kreis. Wie gross ist folglich das Volumen unter [mm] $f_{XY}$?
[/mm]
vg Luis
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> Moin Sleeper,
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> warum so kompliziert? Die Menge
> [mm]\{(x,y)\mid\mathbb{I}_{\{x^{2}+y^{2}\leq1\}}(x,y)=1\}[/mm]
> beschreibt einen Kreis. Wie gross ist folglich das Volumen
> unter [mm]f_{XY}[/mm]?
>
> vg Luis
Dem kann ich nicht so ganz folgen. Ist das Volumen des Kreises nicht auch wieder [mm] \frac{1}{\pi}? [/mm] Kann man das nicht so schön über das Integral ausrechnen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Do 11.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist ne erhebliche Bildungslücke, wenn man die Fläch eines Kreises nicht ausrechnen kann!
dann sollte man eben in wiki nachsehen.
Gruss leduart
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> Hallo
> es ist ne erhebliche Bildungslücke, wenn man die Fläch
> eines Kreises nicht ausrechnen kann!
> dann sollte man eben in wiki nachsehen.
> Gruss leduart
Ja schon klar, das dass nicht [mm] 1/\pi [/mm] sondern [mm] \pi [/mm] ist, weil der Radius ja gerade 1 ist. Wenn man das dann multipliziert kommt auch in der Tat 1 raus. Nun möchte ich das dennoch aber gerne über das Doppelintegral lösen. Das muss doch auch irgendwie gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Fr 12.02.2010 | | Autor: | gfm |
Wenn man
[mm] I:=\integral_B g(t,x)d\lambda^{n+1}(t,x)
[/mm]
ausrechnen soll, wobei
[mm] B\subset\IR^{n+1}, x\in\IR^{n+1}, t\in\IR, [/mm]
dann kann man das um eine Dimension reduzieren, wenn B in der Form
[mm] B=\{(t,x)\in\IR^{n+1}:x\in Q, u(x)\le t\le v(x)\}
[/mm]
geschrieben werden kann mit einem Quader [mm] Q\in\IR^n [/mm] und zwei stetigen Funktionen [mm] u\le [/mm] v auf Q
[mm] I=\integral_Q\integral_{u(x)}^{v(x)}g(t,x)d\lambda(t)d\lambda^n(x)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:49 Fr 12.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Nun möchte ich das dennoch
> aber gerne über das Doppelintegral lösen. Das muss doch
> auch irgendwie gehen?
Hier ein Loesungsweg fuer Fussgaenger:
[mm] $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}\,dy\,dx= \int_{-1}^{+1} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{+\sqrt{1-x^2}}\,dy\,dx$ [/mm] ...
vg Luis
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