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Forum "Uni-Stochastik" - Dichte nachweisen
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Dichte nachweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:12 Do 11.02.2010
Autor: T_sleeper

Aufgabe
Gegeben sei [mm] f_{XY}=\frac{1}{\pi}\cdot\mathbb{I}_{\{x^{2}+y^{2}\leq1\}}. [/mm]
Dies soll die gemeinsame Dichte eines Punktes Q=(X,Y) im Einheitskreis sein. Weisen Sie nach, dass [mm] f_{XY} [/mm] wirklich eine Dichte ist.
Bestimmen Sie ausgehend von der gemeinsamen Dichte eine gemeinsame Verteilungsfunktion.

Hallo,

was ich machen muss weiss ich prinzipiell schon.
Zunächst ist zu zeigen: [mm] \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{XY}(x,y)dydx=1. [/mm]

Mir ist hier aber nicht so ganz klar, welche Grenzen ich bei den Integralen einsetzen muss, ich würde für das erste -1 und 1 nehmen, aber was kommt dann an das zweite Integral? Es muss ja am Ende auch irgendwie das [mm] \pi [/mm] rausfliegen.

Naja für die Verteilungsfunktion macht man ja im Prinzip das Gleiche, nur das man über andere Grenzen integriert.
Eigentlich müsste das doch dann sein: P(X=a, [mm] Y=b)=\int_{-\infty}^{a}\int_{-\infty}^{b}f_{XY}(x,y)dydx [/mm] oder nicht? Aber kann ich das so einfach ausrechnen, denn z.B. muss ja falls a=b=1 ist [mm] P_{XY}(a,b)=0 [/mm] sein, oder muss man die Grenzen wieder anders setzen?

Gruß Sleeper

        
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Dichte nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:37 Do 11.02.2010
Autor: luis52

Moin Sleeper,

warum so kompliziert? Die Menge [mm] $\{(x,y)\mid\mathbb{I}_{\{x^{2}+y^{2}\leq1\}}(x,y)=1\}$ [/mm] beschreibt einen Kreis. Wie gross ist folglich das Volumen unter [mm] $f_{XY}$? [/mm]

vg Luis      

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Dichte nachweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Do 11.02.2010
Autor: T_sleeper


> Moin Sleeper,
>  
> warum so kompliziert? Die Menge
> [mm]\{(x,y)\mid\mathbb{I}_{\{x^{2}+y^{2}\leq1\}}(x,y)=1\}[/mm]
> beschreibt einen Kreis. Wie gross ist folglich das Volumen
> unter [mm]f_{XY}[/mm]?
>  
> vg Luis      

Dem kann ich nicht so ganz folgen. Ist das Volumen des Kreises nicht auch wieder [mm] \frac{1}{\pi}? [/mm] Kann man das nicht so schön über das Integral ausrechnen???


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Dichte nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Do 11.02.2010
Autor: leduart

Hallo
es ist ne erhebliche Bildungslücke, wenn man die Fläch eines Kreises nicht ausrechnen kann!
dann sollte man eben in wiki nachsehen.
Gruss leduart

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Dichte nachweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:53 Do 11.02.2010
Autor: T_sleeper


> Hallo
>  es ist ne erhebliche Bildungslücke, wenn man die Fläch
> eines Kreises nicht ausrechnen kann!
>  dann sollte man eben in wiki nachsehen.
>  Gruss leduart

Ja schon klar, das dass nicht [mm] 1/\pi [/mm] sondern [mm] \pi [/mm] ist, weil der Radius ja gerade 1 ist. Wenn man das dann multipliziert kommt auch in der Tat 1 raus. Nun möchte ich das dennoch aber gerne über das Doppelintegral lösen. Das muss doch auch irgendwie gehen?

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Dichte nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:22 Fr 12.02.2010
Autor: gfm

Wenn man

[mm] I:=\integral_B g(t,x)d\lambda^{n+1}(t,x) [/mm]

ausrechnen soll, wobei

[mm] B\subset\IR^{n+1}, x\in\IR^{n+1}, t\in\IR, [/mm]

dann kann man das um eine Dimension reduzieren, wenn B in der Form

[mm] B=\{(t,x)\in\IR^{n+1}:x\in Q, u(x)\le t\le v(x)\} [/mm]

geschrieben werden kann mit einem Quader [mm] Q\in\IR^n [/mm] und zwei stetigen Funktionen [mm] u\le [/mm] v auf Q

[mm] I=\integral_Q\integral_{u(x)}^{v(x)}g(t,x)d\lambda(t)d\lambda^n(x) [/mm]



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Dichte nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:49 Fr 12.02.2010
Autor: luis52

Moin

> Nun möchte ich das dennoch
> aber gerne über das Doppelintegral lösen. Das muss doch
> auch irgendwie gehen?


Hier ein Loesungsweg fuer Fussgaenger:

[mm] $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}\,dy\,dx= \int_{-1}^{+1} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{+\sqrt{1-x^2}}\,dy\,dx$ [/mm] ...


vg Luis


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