Dichte vom Minimum bestimmen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] X_{1},....,X_{n} [/mm] seien iid.
[mm] X_{1} [/mm] hat die Dichte: [mm] f(x,\theta) [/mm] = [mm] e^{-(-x-\theta)}*11_{(\theta,\infty)}(x)
[/mm]
zu zeigen:
[mm] min_{1,...,n}(X_{i}) [/mm] : [mm] f_{min(X_{i})}(y,\theta)=n*e^{-n*(-x-\theta)}*11_{(\theta,\infty)}(x)
[/mm]
Hinweis: [mm] Y_{1},....,Y_{n} [/mm] iid. mit
[mm] f_{Y_{i}}(x)=f(x)*n*(1-F)^{n-1} [/mm] |
Ich habe keine Ahnung wie ich hier rangehen soll. Wüsste ich die Verteilung, würde ich über die Verteilungsfunktion gehen.
Da hier lediglich die Dichte gegeben ist, fehlt mir der Ansatz.
Meine Idee wäre, die Stammfunktion der Dichte zu bilden.
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Huhu,
du kannst hier mit der Verteilungsfunktion erstmal rechnen, ohne sie explizit zu kennen.
Seien [mm] F_{X_i}(x) [/mm] die Verteilungsfunktioenn von [mm] X_i, [/mm] wie sieht dann die Verteilungsfunktion von [mm] $\min_{\{1,\ldots,n\}}X_i [/mm] = [mm] \min\{X_1,\ldots,X_n\}$ [/mm] aus?
Du brauchst dazu, dass die [mm] X_i [/mm] iid sind, dann kannst du die Verteilungsfunktion nur mithilfe von [mm] F_{X_1} [/mm] darstellen 
MFG,
Gono.
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"Seien $ [mm] F_{X_i}(x) [/mm] $ die Verteilungsfunktioenn von $ [mm] X_i, [/mm] $ wie sieht dann die Verteilungsfunktion von $ [mm] \min_{\{1,\ldots,n\}}X_i [/mm] = [mm] \min\{X_1,\ldots,X_n\} [/mm] $ aus? "
[mm] P(minX_{i} \le [/mm] x)
= [mm] 1-P(minX_{i} [/mm] > x)
Da die [mm] X_{i} [/mm] iid. sind folgt:
[mm] 1-P(X_{i} [/mm] > [mm] x)^{n}
[/mm]
[mm] =1-(1-P(X_{i} \le x)^{n})
[/mm]
Ist das so richtig?
In anderen Aufgaben, habe ich nun weitergerechnet, indem ich die Verteilungsfunktion eingesetzt habe und diesen Term abgeleitet habe.
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Hiho,
> Da die [mm]X_{i}[/mm] iid. sind folgt:
>
> [mm]1-P(X_{i}[/mm] > [mm]x)^{n}[/mm]
> [mm]=1-(1-P(X_{i} \le x)^{n})[/mm]
> Ist das so richtig?
Bisher sieht alles gut aus
> In anderen Aufgaben, habe ich nun weitergerechnet, indem
> ich die Verteilungsfunktion eingesetzt habe und diesen Term
> abgeleitet habe.
Musst du hier noch gar nicht. Du sollst ja nur die Dichte wissen, d.h. du kannst jetzt auch einfach diesen Term ableiten und erhälst die Dichte vom Minimum.
Dann wirst du feststellen, dass die Verteilungsfunktion von [mm] X_1 [/mm] beim Ableiten leider nicht komplett wegfällt, d.h. du wirst ums integrieren nicht drumrumkommen.
Oftmals ist es aber auch so, dass nach dem Ableiten nur noch Ableitungen von [mm] F_{X_1} [/mm] drinbleiben und dann sparst du dir das ausrechnen der Stammfunktion!
MFG,
Gono.
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Ah okay, super
Jetzt weiß ich schonmal wie der Hinweis zustande kommt.
Denn dieser ist ja nun meine Ableitung:
[mm] f_{minX_{i}}(y,\theta)= [/mm] f * n * [mm] (1-F)^{n-1}
[/mm]
jetzt muss ich ja noch dieses F reinbringen.
Nun noch eine Frage:
Ist F nun dieses Integral?
[mm] \integral_{\theta}^{\infty}{e^{-(x-\theta)} dx}
[/mm]
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Huhu,
> Ist F nun dieses Integral?
> [mm]\integral_{\theta}^{\infty}{e^{-(x-\theta)} dx}[/mm]
genau.
MFG,
Gono.
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