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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Dichte von X^2
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Dichte von X^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Mi 13.06.2012
Autor: Lykanthrop

Aufgabe
Sei X eine N(0,1)-verteilte Zufallsvariable. Berechne die Dichte von [mm] X^2. [/mm]

Guten Morgen,
die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}. [/mm] Nur wie bestimme ich die Verteilung der Produktfunktion? Multipliziert man diese Dichtefunktion mit sich selbst? Ich finde leider keinen entsprechenden Satz in meiner Mitschrift.

Lg Lykanthrop

        
Bezug
Dichte von X^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Mi 13.06.2012
Autor: luis52

Moin, bestimme die Verteilungsfunktion [mm] $P(X^2\le [/mm] z)$ fuer [mm] $z\ge0$ [/mm] und leite anschliessend ab. (Was ist [mm] $P(X^2\le [/mm] z)$ fuer $z<0_$?)

vg Luis

Bezug
        
Bezug
Dichte von X^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Mi 13.06.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Sei X eine N(0,1)-verteilte Zufallsvariable. Berechne die
> Dichte von [mm]X^2.[/mm]
>  Guten Morgen,
>  die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}.[/mm] Nur wie bestimme
> ich die Verteilung der Produktfunktion? Multipliziert man
> diese Dichtefunktion mit sich selbst? Ich finde leider
> keinen entsprechenden Satz in meiner Mitschrift.
>  
> Lg Lykanthrop


Hallo Lykanthrop,

Es sei f die Dichtefunktion der Verteilung N(0,1) von X
und g die gesuchte Dichtefunktion von [mm] X^2. [/mm]
Betrachten wir ein (infinitesimales) Intervall [t ... t+dt] der
Länge dt auf der t-Achse (mit t>0), so wird dieses durch die
Abbildung  [mm] x\mapsto{x^2} [/mm]  auf das Intervall  [mm] [t^2 [/mm] ... [mm] t^2+2\,t\,dt+(dt)^2] [/mm]
der Länge [mm] 2\,t\,dt [/mm]  (in erster Ordnung) abgebildet. Außerdem
wird das dazu symmetrische Intervall [-t-dt ... -t] auf dasselbe
Bildintervall abgebildet. Wegen der Symmetrie der gegebenen
Normalverteilung tragen die beiden Urintervalle dieselbe
Dichte f(t)=f(-t) auf einer Gesamtlänge von [mm] 2\,dt [/mm] .
Das Bildintervall trägt auf seiner Länge von [mm] 2\,t\,dt [/mm] die
(gesuchte) Dichte  [mm] g(t^2). [/mm]
Nun vergleichen wir die Gesamtwahrscheinlichkeiten vor
und nach der Abbildung. Sie müssen übereinstimmen,
also:

         [mm] $g(t^2)*2\,t\,dt\ [/mm] =\ [mm] f(t)*2\,dt$ [/mm]

Daraus folgt

         [mm] $g(t^2)*t\ [/mm] =\ f(t)$

und, indem wir t durch [mm] \sqrt{t} [/mm] ersetzen:

         $g(t)\ =\ [mm] \frac{f(\sqrt{t})}{\sqrt{t}}$ [/mm]

LG   Al-Chw.      
        


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