Dichte von Zufallsvar. bestim. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktionen [mm] F_{1},...,F_{n}. [/mm] Bestimme für den Fall, dass jedes [mm] X_{i} [/mm] gleichmäßig auf [0,1] verteilt ist, die Dichte von M = [mm] max\{X_{1},...,X_{n}\} [/mm] und m = [mm] min\{X_{1},...,X_{n}\}. [/mm] |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe komme ich noch nicht ganz zu Rande.
Wenn alle [mm] X_{i} [/mm] gleichmäßig auf [0,1] verteilt sind, heißt das, dass die [mm] X_{i} [/mm] praktisch so aussehen:
[mm] $X_{i} [/mm] = [mm] 1_{0 \le x \le 1}(x)$,
[/mm]
oder, d.h.
[mm] $F_{i}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad x < 0\\ x, \quad 0\le x \le 1 \\ 1, \quad 1 < x\end{cases}$
[/mm]
Und nun weiß ich schon aus einer vorhergehenden Aufgabe, dass
[mm] $F_{M}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}F_{i}(x)$, [/mm]
also müsste es ja sein:
[mm] $F_{M}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad x < 0\\ x^{n}, \quad 0\le x \le 1 \\ 1, \quad 1 < x\end{cases}$.
[/mm]
Aber wie komme ich von der Verteilungsfunktion von M wieder auf die Dichte zurück? Darf ich einfach "ableiten"? Dann wäre:
[mm] f_{M}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad x < 0\\ n*x^{n-1}, \quad 0\le x \le 1 \\ 1, \quad 1 < x\end{cases}$
[/mm]
Stimmt das? Wieso darf ich ableiten? Weil die Verteilungsfunktion differenzierbar ist?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Mo 23.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Aber wie komme ich von der Verteilungsfunktion von M wieder
> auf die Dichte zurück? Darf ich einfach "ableiten"? Dann
> wäre:
>
> [mm]f_{M}(x)[/mm] = [mm]\begin{cases}0, \quad x < 0\\ n*x^{n-1}, \quad 0\le x \le 1 \\ 1, \quad 1 < x\end{cases}$[/mm]
>
> Stimmt das?
Fast: $0, [mm] \quad [/mm] 1 < x$
> Wieso darf ich ableiten? Weil die
> Verteilungsfunktion differenzierbar ist?
Ja. Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier, Satz 8.9.
vg Luis
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Hallo luis,
danke für deine Antwort!
> > Aber wie komme ich von der Verteilungsfunktion von M wieder
> > auf die Dichte zurück? Darf ich einfach "ableiten"? Dann
> > wäre:
> >
> > [mm]f_{M}(x)[/mm] = [mm]\begin{cases}0, \quad x < 0\\ n*x^{n-1}, \quad 0\le x \le 1 \\ 1, \quad 1 < x\end{cases}$[/mm]
>
> >
> > Stimmt das?
>
> Fast: [mm]0, \quad 1 < x[/mm]
Oh... Da habe ich aber einen dummen Fehler gemacht...
> > Wieso darf ich ableiten? Weil die
> > Verteilungsfunktion differenzierbar ist?
>
> Ja. Siehe
> hier,
> Satz 8.9.
Danke für den Link 
Grüße,
Stefan
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