Dichtefkt der Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Sa 26.01.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Sei [mm] F:\IR\times\IR\to\IR [/mm] gegeben durch [mm] F(a,b):=\Phi(b)-\Phi(a), [/mm] wobei [mm] \Phi(x)=\integral_{-\infty}^{x}\frac{1}{\wurzel{2\pi}}exp(-\frac{t^2}{2})dt.
[/mm]
Zeigen Sie, dass für [mm] $0\le [/mm] a<b$ und [mm] $0\le [/mm] a'<b'$ gilt, dass
$a<a'$ und [mm] $b-a=b'-a'\Rightarrow [/mm] F(a,b)>F(a',b')$. |
Hallo.
Ich habe mit F(a',b') angefangen und will F(a',b')<F(a,b) zeigen.
[mm] F(a',b')=\Phi(b')-\Phi(a')\overset{a
Hat jemand eine Idee wie man das sonst zeigen könnte?
gruß triad
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Sa 26.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin triad,
mir gestaltet sich die Chose wie folgt: Setze $d=b-a=b'-a'$. Dann ist die Behauptung aequivalent mit
[mm] $F(a,a+d)>F(a',a'+d)\iff\Phi(a+d)-\Phi(a)>\Phi(a'+d)-\Phi(a')\iff\Phi(a+d)-\Phi(a'+d)>\Phi(a)-\Phi(a')$.
[/mm]
Setze [mm] $G(z)=\Phi(a+z)-\Phi(a'+z)$, [/mm] $z>0$, und zeige, dass $G$ streng monoton steigt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Sa 26.01.2013 | | Autor: | triad |
> Moin triad,
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> mir gestaltet sich die Chose wie folgt: Setze [mm]d=b-a=b'-a'[/mm].
> Dann ist die Behauptung aequivalent mit
>
> [mm]F(a,a+d)>F(a',a'+d)\iff\Phi(a+d)-\Phi(a)>\Phi(a'+d)-\Phi(a')\iff\Phi(a+d)-\Phi(a'+d)>\Phi(a)-\Phi(a')[/mm].
>
> Setze [mm]G(z)=\Phi(a+z)-\Phi(a'+z)[/mm], [mm]z>0[/mm], und zeige, dass [mm]G[/mm]
> streng monoton steigt.
>
> vg Luis
Hi. Um zu zeigen, dass G streng monoton wachsend ist, muss man zeigen, dass x<y [mm] \Rightarrow [/mm] G(x)<G(y). Wie macht man das noch gleich? Wenn man hat [mm] G(x)=\Phi(a+x)-\Phi(a'+x)< [/mm] ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Sa 26.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hi. Um zu zeigen, dass G streng monoton wachsend ist, muss
> man zeigen, dass x<y [mm]\Rightarrow[/mm] G(x)<G(y). Wie macht man
> das noch gleich?
Z.B. durch Ableiten.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 26.01.2013 | | Autor: | triad |
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> > Hi. Um zu zeigen, dass G streng monoton wachsend ist, muss
> > man zeigen, dass x<y [mm]\Rightarrow[/mm] G(x)<G(y). Wie macht man
> > das noch gleich?
>
> Z.B. durch Ableiten.
>
> vg Luis
Was nach was ableiten? Ich versteh gerade gar nichts mehr. Wenn ich G(x) ableite nach x, d.h. [mm] \Phi(a+x)-\Phi(a'+x) [/mm] ableiten, d.h. [mm] \frac{d}{dx}\integral_{-\infty}^{a+x}\frac{1}{\wurzel{2\pi}}exp(-0.5t^2)dt. [/mm] Wie soll ich so ein Integral mit Grenzen ableiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Sa 26.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, [mm] $\Phi$ [/mm] ist eine Verteilungsfunktion. Was die Ableitung einer Verteilungsfunktion?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 So 27.01.2013 | | Autor: | triad |
> Moin, [mm]\Phi[/mm] ist eine Verteilungsfunktion. Was die Ableitung
> einer Verteilungsfunktion?
>
> vg Luis
Guten Morgen. D.h. wenn [mm] \Phi(x)=\integral_{-\infty}^{x}\phi(t)dt [/mm] die Verteilungsfunktion ist, dann ist [mm] \phi(t) [/mm] die erste Ableitung der Verteilungsfunktion, falls diese an der Stelle x differenzierbar ist, egal welche Grenzen am Integral stehen?
gruß triad
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 So 27.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> D.h. wenn [mm]\Phi(x)=\integral_{-\infty}^{x}\phi(t)dt[/mm] die
> Verteilungsfunktion ist, dann ist [mm]\phi(t)[/mm] die erste
> Ableitung der Verteilungsfunktion,
Ja.
> falls diese an der Stelle x differenzierbar ist,
Keine Sorge, sie ist ueberall diffbar.
> egal welche Grenzen am
> Integral stehen?
Ja.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 27.01.2013 | | Autor: | triad |
> > D.h. wenn [mm]\Phi(x)=\integral_{-\infty}^{x}\phi(t)dt[/mm] die
> > Verteilungsfunktion ist, dann ist [mm]\phi(t)[/mm] die erste
> > Ableitung der Verteilungsfunktion,
>
> Ja.
>
> > falls diese an der Stelle x differenzierbar ist,
>
> Keine Sorge, sie ist ueberall diffbar.
>
> > egal welche Grenzen am
> > Integral stehen?
>
> Ja.
>
> vg Luis
>
Das würde aber bedeuten, dass [mm] G'(x)=\Phi'(a+x)-\Phi'(a'+x)=\frac{d}{dx}\integral_{-\infty}^{a+x}\phi(t)dt-\frac{d}{dx}\integral_{-\infty}^{a'+x}\phi(t)dt=\phi(t)-\phi(t)=0, [/mm] egal ob das Argument t oder x ist. Bei G(y) passiert dasselbe.
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Hiho,
darum war luis Antwort ja auch falsch.
Die Ableitung von $F(x) = [mm] \int_{-\infty}^x \phi(t) [/mm] dt$ ist natürlich [mm] $\phi(x)$.
[/mm]
Wo soll das t auch herkommen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 So 27.01.2013 | | Autor: | triad |
> Hiho,
>
> darum war luis Antwort ja auch falsch.
>
> Die Ableitung von [mm]F(x) = \int_{-\infty}^x \phi(t) dt[/mm] ist
> natürlich [mm]\phi(x)[/mm].
>
> Wo soll das t auch herkommen?
>
> MFG,
> Gono.
hi und danke dir, also wäre nun geklärt was G'(x) bzw. [mm] \Phi'(x) [/mm] ist. Zurück zur zu zeigenden Aussage x<y $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ G(x)<G(y). Was bringt mir die Ableitung G', wenn ich doch G zeigen soll. Also wie kann ich die Aussage zeigen, mit dem Wissen, was die Ableitung ist?
gruß triad
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Hiho,
> hi und danke dir, also wäre nun geklärt was G'(x) bzw.
> [mm]\Phi'(x)[/mm] ist. Zurück zur zu zeigenden Aussage x<y
> [mm]\Rightarrow[/mm] G(x)<G(y). Was bringt mir die Ableitung G',
> wenn ich doch G zeigen soll. Also wie kann ich die Aussage
> zeigen, mit dem Wissen, was die Ableitung ist?
du solltest dringend dein Analysis-Grundwissen nacharbeiten.
Sowohl was [mm] $\left(\integral_{-\infty}^x \phi(t) dt\right)'$ [/mm] als auch der Satz "F monoton wachsend [mm] $\gdw [/mm] F' [mm] \ge [/mm] 0$" sind Analysis I bzw II Wissen.
Und ohne das brauchst du auch keine weiterführende Vorlesung zu hören.....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 27.01.2013 | | Autor: | triad |
Also G'(z) ist nun [mm] G'(z)=\phi(a+z)-\phi(a'+z)=\frac{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(a+z)^2}-\frac{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(a'+z)^2}\overset{!}{>}0. [/mm] Wegen a<a' und [mm] $e^{-x}-e^{-y}>0$ \forall $0\le [/mm] x<y$ gilt G'(z)>0 [mm] \forall [/mm] z>0, also G streng monoton wachsend. Kann man das so stehenlassen? Und ist damit dann alles gezeigt oder geht es noch weiter als in https://vorhilfe.de/read?i=946039 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 27.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> ist damit dann alles gezeigt oder geht es noch weiter als in > https://vorhilfe.de/read?i=946039 ?
Nein, denn du hast die zur Behauptung aequivalente Aussage gezeigt.
vg Luis
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