Dichtefkt y(n)=x(n)+x(n-1) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Di 31.12.2013 | | Autor: | WrStat |
| Aufgabe | Given discrete white integer noise, wich are independently and identically distributed (iid) random variables x(n), where x(n) can take on integer values from 1 to 6 with equal probability.
Draw the probability density function of y(n)=x(n)+x(n-1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Was ich aus der Aufgabenstellung verstanden habe:
x(n) kann die Werte 1 bis 6 annehmen mit der W'keit von [mm] \bruch{1}{6}.
[/mm]
Dies entspricht ja unteranderem dem bekannten Beispiel des fairen Würfels. Und bei diesem ist die [mm] f_{x}(x) [/mm] bekanntlich gleichverteilt.
Jetzt kommt mein Verständnisproblem:
y(n)=x(n)+x(n-1) bedeutet ja lediglich, dass das Ergebnis aus dem aktuellen Wert x(n) und dem vorangehenden Wert x(n-1) zusammengesetzt wird. Wie soll das hier gehen?
Die Lösung dieser Aufgabe sieht für mich aus wie das Beispiel mit den zwei fairen Würfeln. Aber ich verstehe nicht, wie das mit y(n)=x(n)+x(n-1) zusammenhängt.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen mit einem gut verständlichen Beispiel?
Gruss
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Given discrete white integer noise, wich are independently
> and identically distributed (iid) random variables x(n),
> where x(n) can take on integer values from 1 to 6 with
> equal probability.
>
> Draw the probability density function of y(n)=x(n)+x(n-1)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Was ich aus der Aufgabenstellung verstanden habe:
> x(n) kann die Werte 1 bis 6 annehmen mit der W'keit von
> [mm]\bruch{1}{6}.[/mm]
> Dies entspricht ja unteranderem dem bekannten Beispiel des
> fairen Würfels. Und bei diesem ist die [mm]f_{x}(x)[/mm]
> bekanntlich gleichverteilt.
>
> Jetzt kommt mein Verständnisproblem:
> y(n)=x(n)+x(n-1) bedeutet ja lediglich, dass das Ergebnis
> aus dem aktuellen Wert x(n) und dem vorangehenden Wert
> x(n-1) zusammengesetzt wird. Wie soll das hier gehen?
> Die Lösung dieser Aufgabe sieht für mich aus wie das
> Beispiel mit den zwei fairen Würfeln. Aber ich verstehe
> nicht, wie das mit y(n)=x(n)+x(n-1) zusammenhängt.
> Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen mit einem gut
> verständlichen Beispiel?
Jedem Wert n ist ein Wert aus {1;2;...;6} zugeordnet, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p=1/6. Im Prinzip ist nichts anderes gesucht als die Wahrscheinlichkeitsfunktion für das zweimalige Werfen eines fairen Würfels, wobei die Augensumme betrachtet wird. y(n) nimmt also Werte aus {2;3;...;12} an, allerdings mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten.
Gruß & gutes neues Jahr 2014, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Di 31.12.2013 | | Autor: | WrStat |
| Aufgabe | | Jedem Wert n ist ein Wert aus {1;2;...;6} zugeordnet, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p=1/6. Im Prinzip ist nichts anderes gesucht als die Wahrscheinlichkeitsfunktion für das zweimalige Werfen eines fairen Würfels, wobei die Augensumme betrachtet wird. y(n) nimmt also Werte aus {2;3;...;12} an, allerdings mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten. |
Hi
Danke fürs willkommen heissen und die schnelle Antwort.
Ja, bei zwei fairen Würfeln nimmt y(n) die Werte zwischen {2,3,...,12} an, was mir auch einleuchtet. Aber in der Lösung des Dozenten nimmt y(n) Werte zwischen {1,2,3,...,12} an, also ist y(n)=x(n)+x(n-1) nicht gleich dem Beispiel der zwei fairen Würfel.
Der Wert für y(n)=1 geht bestimmt aus der Tatsache hervor, dass zum Abtastpunkt n=1 für x(n-1) kein Wert vorhanden ist und somit bei n=1 y(n)=x(n)+x(n-1)=x(n) entspricht. Oder verstehe ich da etwas völlig falsch?
Gruss und ein schönes neues Jahr
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> Jedem Wert n ist ein Wert aus {1;2;...;6} zugeordnet,
> jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p=1/6. Im Prinzip ist
> nichts anderes gesucht als die Wahrscheinlichkeitsfunktion
> für das zweimalige Werfen eines fairen Würfels, wobei die
> Augensumme betrachtet wird. y(n) nimmt also Werte aus
> {2;3;...;12} an, allerdings mit unterschiedlichen
> Wahrscheinlichkeiten.
> Hi
> Danke fürs willkommen heissen und die schnelle Antwort.
>
> Ja, bei zwei fairen Würfeln nimmt y(n) die Werte zwischen
> {2,3,...,12} an, was mir auch einleuchtet. Aber in der
> Lösung des Dozenten nimmt y(n) Werte zwischen
> {1,2,3,...,12} an, also ist y(n)=x(n)+x(n-1) nicht gleich
> dem Beispiel der zwei fairen Würfel.
> Der Wert für y(n)=1 geht bestimmt aus der Tatsache hervor,
> dass zum Abtastpunkt n=1 für x(n-1) kein Wert vorhanden
> ist und somit bei n=1 y(n)=x(n)+x(n-1)=x(n) entspricht.
> Oder verstehe ich da etwas völlig falsch?
>
> Gruss und ein schönes neues Jahr
Hallo WrStat,
es stellt sich noch die Frage, aus welchem Bereich
denn die n stammen dürfen. Soll da als Grundmenge [mm] \IN [/mm]
oder [mm] \IZ [/mm] oder nur eine Menge [mm] $\{\,1,2,3,4,\,......\,,N\,\}$ [/mm] voraus-
gesetzt werden ?
Falls es dem Professor wirklich ernst ist mit der Angabe,
dass die Summe y(n)=1 auch vorkommen darf, dann ist dies
offenbar nur möglich mit n=1 und wenn man für diesen
Fall anstatt einer Würfelsumme einfach den Wert des
ersten Wurfes nimmt. Man sollte dann ehrlicherweise
die y(n) so definieren:
$\ y(n)\ =\ [mm] \begin{cases} x(n)+x(n-1) & \mbox{ falls } 2\le n\ \le N \\ x(1) & \mbox{ falls } n =1 \end{cases}$
[/mm]
Die dann entstehende Wahrscheinlichkeitsverteilung
würde dann aber auch von der gesamten Zahl N der
Würfe abhängig ! Sollte wirklich dies gemeint sein,
würde ich mir die Verteilung zuerst mal an einem
konkreten (kleinen) Wert für die Wurfanzahl N klar
machen. Falls man dann aber Grenzwerte für [mm] N\to\infty
[/mm]
betrachtet, müsste dasselbe Ergebnis herauskommen
wie bei der einfacheren Rechnung mit einer Würfel-
sequenz ohne Anfangsglied bzw. für die Verteilung
derjenigen y(n), für welche sowohl x(n) als auch x(n-1)
als Würfelergebnisse vorliegen.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mi 01.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
Die Dichte berechnet sich zu
(1) [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty}p_k*p_{m-k}
[/mm]
mit [mm] p_i=\begin{cases} \bruch{1}{6}, & \mbox{für } n=1, ... ,6 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Das ergibt die bekannte Dreiecksdichte.
(1) kann auch als
[mm] p=\begin{cases} \left(\bruch{1}{6}\right)^2*(6-|m-7|), & \mbox{für } m=2, ... ,12 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
geschrieben werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das gleiche Ergebnis erhält man auch, wenn man gleichverteilte Zufallszahlen zwischen 1 und 6 erzeugt und den Prozess
[mm] y(n)=\begin{cases} x(n)+x(n-1) & \mbox{ falls } 2\le n\ \le N \\ x(1) & \mbox{ falls } n =1 \end{cases}
[/mm]
simuliert und die Ergebnisse in einem Histogramm aufträgt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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