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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Mo 08.02.2010 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | Für k>2 sei f(x):= [mm] k*(\bruch{1}{x})^{k+1} 1_{[1,\infty)} [/mm] (x)
a) Zeigen Sie, dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf [mm] \IR [/mm] ist.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz einer gemäß f verteilten Zufallsgröße X. |
zu a) für die Wahrscheinlichkeitsdichte muss doch gelten:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}k*(\bruch{1}{x})^{k+1} 1_{[1,\infty)} [/mm] dx
muss ich dann die Integrationsgrenzen änder, wegen [mm] 1_{[1,\infty)}. [/mm] Oder was sagt mir das genau??
also ich hab das einfach mal gemacht:
[mm] \integral_{1}^{\infty}k*(\bruch{1}{x})^{k+1} [/mm] dx = [mm] k*[\bruch{1}{-k}*x^{-k}]. [/mm]
Ich bin mir irgendwie nicht so sicher, ob ich das richtig integriert habe.
Wenn ich jetzt die Grenzen 1 und [mm] \infty [/mm] einsetze, erhalte ich ja, dass der Wert für [mm] \infty [/mm] gegen 0 geht.
[mm] 0-(k*\bruch{1}{-k}*1^{-k})=1^{-k}=1 [/mm] für alle k. Oder???
Ist [mm] 1^{-k} [/mm] nicht auch schon Verteilungsfunktion??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 08.02.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
du hast richtig gerechnet. Der Integrand ist nur im Intervall [1, [mm] \infty] [/mm] ungleich Null. Für das Integral erhälst du den Wert 1, wie es für eine Wahrscheinlichkeitsdichte gefordert ist. [mm] 1^{-k} [/mm] ist keine Verteilungsfunktion, denn sie ist konstant gleich 1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mo 08.02.2010 | | Autor: | elba |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 08.02.2010 | | Autor: | elba |
Ok, danke.
Wie komme ich denn jetzt auf die Verteilungsfunktion? Ist diese nicht als Stammfunktion der Dichtefunktion definiert? Deshalb dachte ich, dass [mm] 1^{-k} [/mm] bereits Verteilungsfunktion ist.
Und muss ich für den Erwartungswert einfach folgendes machen:
[mm] k*\integral_{1}^{\infty}{x*(\bruch{1}{x})^{k+1} dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 08.02.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
die Verteilungsfunktion ist die Integralfunktion der Dichtefunktion, wobei bei [mm] -\infty [/mm] mit der Integration begonnen wird. Wegen der charakteristischen Funktion des Intervalls [mm] [1,\infty] [/mm] in der Dichtefuntion ist hier nur das Integral von 1 bis t interessant.
Du berechnest also als Verteilungsfunktion: [mm] \integral_{1}^{t}{k (\frac{1}{x})^{k+1} dx} [/mm] und als Erwartungswert: [mm] \integral_{1}^{\infty}{k x(\frac{1}{x})^{k+1} dx}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 08.02.2010 | | Autor: | elba |
dann erhalte ich für die Verteilungsfunktion:
[mm] -x^{-t} [/mm]
und für den Erwartungswert:
[mm] -\bruch{k}{k+1}.
[/mm]
Aber wieso muss denn bei der Verteilungsfunktion als Grenze t eingesetzt werden?
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 16:39 Mo 08.02.2010 | | Autor: | zahllos |
Die Dichtefunkion gibt an, mit welcher W. die Zufallsgröße den Wert x annnimt, die Verteilungsfunktion gibt an, mit welcher W. sie einen Wert [mm] \le [/mm] x annimmt. Ich habe die Obergrenze nur deshalb t genannt, weil das x schon im Integranten vorkommt. Du kannst die beiden Buchstaben aber auch vertauschen!
Als Verteilungsfunktion bekomme ich [mm] 1-x^{-k} [/mm] und als Erwartungswert [mm] \frac{k}{k+1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mo 08.02.2010 | | Autor: | elba |
super, danke schön!
ich hab nochmal nachgerechnet und bekomme auch deine Werte raus!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mo 08.02.2010 | | Autor: | zahllos |
Achtung ich glaube beim Erwartungswert ist noch ein Tippfehler: es sollte [mm] \frac{k}{k-1} [/mm] heißen. Rechne lieber nochmal nach!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Mo 08.02.2010 | | Autor: | elba |
Also ich hab's nochmal nachgerechnet und bekomme jetzt auch [mm] \bruch{k}{k-1}. [/mm]
[mm] \integral_{1}^{\infty}{x*k*\bruch{1}{x^{k+1}} dx}= k*\integral_{1}^{\infty}{\bruch{x}{x^{k+1}} dx}= k*\integral_{1}^{\infty}{x^{-k} dx}= k*[\bruch{1}{-k+a} *x^{-k+1}] [/mm] = [mm] k*((0)-(\bruch{1}{-k+1}*1^{-k+1})=k*(\bruch{1}{k-1})=\bruch{k}{k-1}
[/mm]
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