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Hallo!
Hänge mal wieder an 2 Aufgaben!
Dabei geht es um Dichten einer Verteilung und um die stationäre Vert.
Kann mir jemand plausibel das erklären?
Hier die Aufgaben, an denen ich hänge:
1)
Berechne die Dichten der Vert. von [mm] \wurzel{X} [/mm] für eine auf [0,1] gleichvert. Zufallsvariable X, sowie von [mm] e^{T} [/mm] für eine mit Parameter [mm] \lambda>0 [/mm] exponentialvert. Zufallsvariable T.
2)
Gib eine stationäre Verteilung im Ehrenfestschen Modell (???) an, und weise nach, dass diese tatsächlich stationär ist.
Zeige ferner, dass [mm] P(X_{0}=x_{0},...,X_{n}=x_{n})=P(X_{0}=x_{n},...,X_{n}=x_{0}) [/mm] für [mm] n\in \IN, x_{0},...,x_{n}\in [/mm] {0,...,N} gilt, wenn man als Startverteilung die stationäre Verteilung annimmt.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schon mal!
VlG
Mario
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Mario!
> 1)
> Berechne die Dichten der Vert. von [mm]\wurzel{X}[/mm] für eine auf
> [0,1] gleichvert. Zufallsvariable X, sowie von [mm]e^{T}[/mm] für
> eine mit Parameter [mm]\lambda>0[/mm] exponentialvert.
> Zufallsvariable T.
Ich rechne dir die erste mal vor, und die zweite fange ich an:
[mm] $F_{\sqrt{X}}(x)$
[/mm]
$= [mm] P(\sqrt{X} \le [/mm] x)$
$=P(X [mm] \le x^2)$
[/mm]
$= [mm] F_X(x^2)$
[/mm]
[mm] $=x^2$,
[/mm]
also:
[mm] $f_{\sqrt{X}}(x) [/mm] = [mm] F_{\sqrt{X}}'(x) [/mm] = 2x$.
Jetzt zur zweiten:
[mm] $F_{e^T}(x)$
[/mm]
[mm] $=P(e^T\le [/mm] x)$
$= P(T [mm] \le \ln(x))$
[/mm]
$= [mm] F_T(\ln(x))$
[/mm]
$= [mm] \lambda\int\limits_0^{\ln(x)}e^{-\lambda y}\, [/mm] dy$
$= [mm] \ldots$,
[/mm]
also:
[mm] $f_{e^T}(x) [/mm] = [mm] F_{e^T}'(x) [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Den Rest kriegst du jetzt selber hin... 
2)
> Gib eine stationäre Verteilung im Ehrenfestschen Modell
> (???) an, und weise nach, dass diese tatsächlich stationär
> ist.
Was ist das Ehrenfestsche Modell? Das solltest du erst herausfinden (google, Skript, Prof/Assistent/Kommilitonen fragen). Schreibe dann bitte eine Erklärung/Definition dazu hier herein, dann schaue ich mal, ob ich dir helfen kann.
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mi 02.02.2005 | | Autor: | adonis1981 |
Hi Julius!
Danke schon mal an dieser Stelle für Deine Hilfe!
Mein Übungsgruppenleiter hat mir heute die gleiche Definition wie "Kristle" gegeben.
Auch im Netz finde ich nichts anderes darüber.
Kannst Du mir weiterhelfen (stationäre Verteilung, ...).
VlG
Mario
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Kristle |
Das Ehrenfestsche Urnenmodell sieht wie folgt aus:
Es gibt zwei Behälter (1 und 2).
In Behälter 1&2 befinden sich N Teilchen
i Teilchen in Behälter 1 und
N - i Teilchen in Behälter 2.
In jeder Zeiteinheit springt ein Teilchen entweder von 1 nach 2 oder von 2 nach 1.
q(i,i+1) = [mm] \bruch{N-1}{N}
[/mm]
q(i,i-1) = [mm] \bruch{i}{N}
[/mm]
q(i,j) = 0 für j [mm] \not= [/mm] i+1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:59 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> q(i,i+1) = [mm]\bruch{N-1}{N}[/mm]
Muss es dann hier nicht konsequenterweise
[mm]q(i,i+1) = \bruch{N-i}{N}[/mm]
heißen?
Viele Grüße
Julius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:44 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, wenn ich das jetzt richtig verstehe, dann musst du doch jetzt einfach die Differenzengleichung
$q(x) = [mm] \frac{N-x+1}{N} [/mm] q(x-1) + [mm] \frac{x+1}{N} [/mm] q(x+1)$
mit den Randbedingungen
$q(0)= [mm] \frac{1}{N} [/mm] q(1) $,
$q(N) = [mm] \frac{1}{N} [/mm] q(N-1)$
und
[mm] $\sum\limits_{x=0}^{N} [/mm] q(x)=1$
lösen, oder?
Die Lösung ist dann
$q(x) = [mm] \frac{{N \choose x}}{2^N}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Di 08.02.2005 | | Autor: | adonis1981 |
Hi!
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Wüsste nicht, wie ich sonst das alles schaffen würde!
MfG
Mario
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