Die Bedeutung der Ableitung < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo !
Ich hab mich inzwischen auch mal mit Differentialgleichungen beschäftigt und mich gefragt warum die Ableitung eigentlich so eine große Rolle spielt??
Warum nimmt man nicht einfach die normale Gleichung? Die Ableitung gibt ja immer die Steigung an, aber warum?? Warum sieht man an der normalen Funktion nicht die Steigung? Und warum ist Ableitung so wichtig wenn man Naturprozesse beschreiben will?
Ich weiß zwar wie man die Ableitung macht usw., aber warum ist mir ein Rätsel, aber ich denk das kommt deswegen weil ich wahrscheinlich noch nich richtig verstanden hab was die Ableitung überhaupt ist, leider hab ich im Internet keine zufriedenstellende bzw verständliche Antwort gefunden^^ meistens nur das man die Ableitung machen muss. Vielleicht kann mir hier jemand helfen?^^
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
das ist eine sehr interssamnte Frage. Und ich kann dir versichern: sie wird dich begleiten, so lange du dich mit Mathematik beschäftigst. Also hoffentlich ein Leben lang. 
Das erste, was zu sagen wäre, ist: man muss wegkommen von der Reduktion des Ableitungsbegriffes auf die Steigung im Koordinatensystem. Ein besserer Begriff für die erste Ableitung einer Funktion ist der Begriff momentane Änderungsrate, und es ist aus meiner Sicht sehr gut, dass man in den Schulen bemüht ist, diesen Begriff durch ständige Verwendung irgendwie zu manifestieren.
Rein zahlenmäßig gibt uns nämlich die erste Ableitung einer Funktion an, wie stark sich die Funktion selbst an einer bestimmten Stelle (oder zu einem bestimmten Zeitpunkt) ändert. Und vor allem: ob diese Änderung ein Zuwachs oder eine Abnahme ist.
Schaue dir daraufhin mal die vier elementaren Wachstumsmodelle lineares, beschränktes, exponentielles und logistisches Wachstum an, wie man die dahinterliegenden Prinzipien definiert. Beim linearen Wachstum kannst du ja noch sagen, es wird halt durch eine lineare Funktion beschrieben bzw. sein Schaubild ist eine Gerade. Zweckmäßiger ist aber die Feststellung: die Änderungsrate bleibt konstant! Beim exponentiellen Wachstum haben wir den schönen Zusammenhang, dass die Änderungsrate bekanntlich proportional zum Bestand ist. Und auch bei den beiden begrenzten Modellen lassen sich mit Hilfe des sog. Sättigungsmanmkos ja die zu Grunde liegenden Prinzipien sehr einfach als Zusammenhang zwischen Änderungsrate und BEstand in Form von DGLen darstellen/modellieren.
Nun, was kann man da erkennen? Sagen wir mal so: vereinfacht gesprochen ist die Summe aller Änderungsraten ja die Ursache für den momentanen Bestand. Man könnte sich also zu der Ansicht versteigen, die Ableitung mit dem Prinzip Ursache gleichzusetzen. Ich weiß, dies ist etwas philosophisch angehaucht. Aber wenn du mal die Anwendungen von Funktionen vom Typ f: [mm] \IR\to\IR [/mm] studierst, so wirst du - ganz gleich, in welchem Bereich - feststellen, dass man immer dort, wo man nach einer Ursache sucht, mit der Ableitung rechnet, während man Wirkungen mit dem Integral berechnet, also sozusagen mit dem Gegenteil der Ableitung!
Ich weiß, das lässt sich auf kompliziertere Funktionen so einfach nicht übetragen. Für mich ist es ein Grundprinzip und die Analysis von daher das mit Abstand wichtigste Bindeglied zwischen Mathematik und Philosophie, zumindest in unserer heutigen Zeit (Beachte aber, wie eng Analysis und Geometrie verwandt sind und was dem antiken Griechenland die Geometrie bedeutet hat!).
Wenn man also eine etwas mathematikkonformere Formulierung haben möchte, so könnte man bspw. allgemein für Differenzialgleichungen sagen, dass sie stets 1:1 Wechselwirkungen zwischen veränderlichen Größen beschreiben. Und auch diese Formulierung lässt unschwer erahnen, warum das ganze so ungeheuer wichtig für unsere gesamte moderne Naturwissenschaft ist.
Ich hoffe, diese Gedanken regen dich ein wenig an, selbst nach Formulierungen zu suchen, welche für dich selbst unmittelbar einleuchtend sind.
Gruß, Diophant
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