Die Ordnung einer Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 24.02.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo alle zusammen,
ich hab da ein kleines Verständisproblem bei der Ordnung einer Gruppe, bzw. Ordnung eines Elementes. Wir haben gelernt, dass die Ordnung eines Elementes die Ordnung seiner Gruppe teilt. Also sei z.B. [mm] \IZ_{5}=\{0,1,2,3,4\}. [/mm] Jetzt ist ja [mm] |\IZ_{5}|=5, [/mm] d. h. doch, dass für jedes Element aus [mm] \IZ_{5} [/mm] gelten müsste: sei [mm] g\in\IZ_{5} \Rightarrow g^5=1, [/mm] oder etwa nicht? Jetzt ist z.B. ord(2)=4 und [mm] 2^5=2, [/mm] also [mm] 2^5\not=1, [/mm] warum ist das denn so? Und außerdem teilt ord(2) nicht 5. Was stimmt denn hier nicht?
Gruß Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 So 24.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo Docy,
ein schönes Thema, aber du musst gut aufpassen, dass du nicht alles durcheinander schmeißt!
Ich will mal versuchen, etwas Ordnung da rein zu bringen, also auch über Ordnung zu sprechen. 
Ne, aber ernsthaft, also:
Das erste ist eine grundlegende Sache, die du, auch wenn du's nicht explizit aufschreibst, IMMER im Hinterkopf haben musst: Eine Gruppe ist immer eine Menge mit einer Verknüpfung zusammen. Dabei darfst du die Verknüpfung nicht vergessen.
Wenn du also von der Gruppe [mm]\IZ_{5}=\{0,1,2,3,4\}[/mm] redest, welche Gruppe (d.h. vor allem welche Verknüpfung) hast du dann im Kopf?
a) Wenn du an die Addition denkst, dann ist bis hierhin alles korrekt. Aber für [mm] $g\in\IZ_{5}$ [/mm] meint
[mm] $g^5$ [/mm] dann, dass die Verknüpfung der Gruppe fünf mal angewendet werden soll (viermal, um genau zu sein). Das heißt, das meint $g+g+g+g+g$ und man würde (weil die Gruppe mit der Addition besser additiv geschrieben wird) auch nicht [mm] $g^5$ [/mm] sondern besser $5g$ schreiben.
b) Wenn du die Multiplikation im Kopf hast, ist schon oben dein Fehler, denn mit der Multiplikation ist die Menge [mm] $\{0,1,2,3,4\}$ [/mm] gar keine Gruppe: Es gibt kein inverses Element zur $0$. Die Gruppe, die du dann vielleicht gemeint hast, ist diese hier:
[mm] $\IZ_5\backslash\{0\}=\{1,2,3,4\}$. [/mm] Das ist tatsächlich (mit der Multiplikation) eine Gruppe (weil $5$ eine Primzahl ist), aber diese Gruppe hat die Ordnung $4$. Das heißt wiederum weiter, dass für jedes Element [mm] $g\in\IZ_5\backslash\{0\}$ [/mm] dieser Gruppe gilt: [mm] $g^4=1$. [/mm] Und das gilt tatsächlich:
[mm] $1^4=1$,
[/mm]
[mm] $2^4=4^2=16\equiv [/mm] 1$,
[mm] $3^4=9^2\equiv 4^2\equiv [/mm] 1$,
[mm] $4^4\equiv (-1)^4=1$.
[/mm]
Ich hoffe, diese ausführliche Antwort hilft dir: Immer die Verknüpfung im Blick haben, die an der Gruppe dran hängt. Und nie die additive und die multiplikative Gruppe durcheinander schmeißen. Ich weiß, das macht man gerade bei den Restklassen-Ringen [mm] $\IZ_n$ [/mm] sehr gerne.
Mathematische Grüße,
Manatu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 So 24.02.2008 | | Autor: | Docy |
Hey vielen, vielen Dank Manatu, du hast mir echt super geholfen, jetzt sehe ich auch meine Fehler dank deiner ausführlichen Antwort, danke vielmals, und immer weiter so.
Gruß Docy
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