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| Aufgabe | Eine kleine Schnecke kriecht mit einer Geschwindigkeit von 10 cm pro Minute auf einem Gummiband entlang, das pro Minute vom Schneckenexperimentator um jeweils einen Meter weiter gedehnt wird. Vor Beginn des Experiments ist das Band ein Meter lang, an einem seiner Enden strartet die Schnecke.
Wir machen folgende Modellannahmen:
- Der Dehnungsvorgang ist beliebig wiederholbar,
- Der Schneckenexperimentator und die Schnecke leben beliebig lange.
Schafft es die Schnekce, das andere Ende des Bandes jemanls zu erreichen und wenn sie es schafft, wie lange braucht sie dafür? |
Ich habe schon rausbekommen, dass die Schnecke nach n Minuten den [mm] \bruch{1}{10}\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] -ten Teil des Gummibandes zurückgelegt hat.
Diese harmonische Reihe ist in diesem Fall divergent, also erreicht die Schnecke das Ende des Gummibandes.
Jetzt muss ich noch rausbekommen, wann sie das Ende erreicht. Also muss ich ja die Gleichung
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] = 10 nach n lösen.
Aber wie macht man das? Oder sehe ich da was falsch?
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Ich kann Dir schonmal sagen, dass der Versuch das numerisch zu lösen grade den Umfang der Integer Variable in C gesprengt hat ... ich versuchs nochmal mit double und dann ner algebraischen Lösung, kann aber noch dauern 
EDIT: ich hab mal ein bisschen programmiert und hab mir ein paar Bildschirmseiten Ausgabe angeschaut. Nach 2.200.000.000 Minuten (also ca. 4185,7 Jahren) hat die Schnecke stattliche 22.08893886229183 % der Strecke geschafft
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Di 27.06.2006 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
Falls es doch noch jemand iterativ mit dem Computer losen moechte hier ein moeglicher Programmcode fuer Octave (freie software ![[]](/images/popup.gif) www.octave.org) (bzw. rennt auch unter matlab):
function schnecke(maxminuten)
gummiband = 10;
position = 1;
i=1;
while (i < maxminuten) && (gummiband > position);
position = position * (gummiband+10) / gummiband + 1;
gummiband = gummiband + 10;
i = i + 1;
end
if position > gummiband
fprintf('Schnecke ist am Ziel angekommen!');
else
fprintf('Schnecke ist immer noch auf der Strecke!');
end
fprintf('%i-te Minute: Gummiband %i dm; Schneckenposition %f dm',i,gummiband,position);
als schnecke.m speichern und in der Kommandozeile z.B. schnecke(20000) eingeben.
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Sei L die länge des Bandes (in diesem Fall 100cm).
Die Schnecke kriecht also in der ersten Minute [mm] \bruch{1}{L} [/mm] der länge des Bandes nach vorn, in der zweiten [mm] \bruch{1}{2L}, [/mm] in der dritten [mm] \bruch{1}{3L} [/mm] und so weiter.
Es kommt tatsächlich die harmonische Reihe [mm] \bruch{1}{\bruch{L}{Schrittweite}} \summe_{i=1}^{t}\bruch{1}{i} [/mm] = [mm] \bruch{Schrittweite}{L} \summe_{i=1}^{t}\bruch{1}{i} [/mm] als lösung heraus, die ich durch das Integral [mm] \integral_{1}^{t}{\bruch{10}{Lx} dx}=1 [/mm] annähern würde.
Beim Lösen des Integrals ergibt sich: [mm] \bruch{10}{L} \integral_{1}^{t}{\bruch{1}{x} dx}=\bruch{10}{L}*(ln(t)-ln(1))=\bruch{10}{L}*ln(t)
[/mm]
Elementar umgeformt in: [mm] t=e^{\bruch{L}{10}} [/mm] also [mm] e^{10}\approx22.026,46579 [/mm] Minuten
... der Grund warum meine Programme übergelaufen sind erschließt sich mir aber noch nicht ... 22.000 hätte gehen müssen ... oder hab ich mich verrechnet?!? Ich lege lieber mal nicht meine Hand hierfür ins Feuer, das unterscheidet sich zu deutlich von meinen erprogrammierten Ergebnissen. Vielleicht hab ich mich im Programmcode vertippt ... bin mir nicht sicher, ich lass das hier auch mal offen stehen
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Ich habs hinbekommen.
Für die, die es interessiert: Habe bei Wikipedia folgende Nährung gefunden:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} \approx [/mm] ln(n) + [mm] \gamma
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] ist dabei die Euler-Mascheroni-Konstante und beträgt ca. 0,5772156649.
Damit kommt man dann zu der Lösung für n=12367.
Danke trotzdem für die Hilfe!
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Bist Du sicher, dass das stimmt? Die Euler Mascheroni Konstante ist doch der Grenzwert für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(HarmonischeReihe_{n}-ln(n) [/mm] oder? Wie bindest Du das denn in die Aufgabe ein? n ist ja eben nicht bekannt.
(keine Ironie, bitte nicht falsch verstehen, ehrliches interesse)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Di 27.06.2006 | | Autor: | Dreieck |
eigentlich koenntest du dir die antwort selber geben, du warst ja schon knapp davor mit deinem Ansatz 
$ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] = 1$
$ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * (ln(n) + 0.5772156649) = 1 $
$ ln(n) = 9.4228 $
$ n = [mm] e^{9.4228} [/mm] = 12367 $
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