Die alternierende Gruppe A_{n} < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen Sie:
a) In [mm] A_5 [/mm] gibt es eine Untergruppe der Ordnung 20.
b) In [mm] A_n [/mm] sind je zwei Zykel der gleichen Länge konjugiert. |
Hi.
Also bei der a hab ich so angefangen, dass die Ordnung von [mm] A_5 [/mm] = 60 ist und das 20 ein Teiler von 60 ist, und es deshalb eine Untergruppe der Ordnung 20 geben kann. Ist das so richtig oder hab ich was vergessen?
Bei der b) hab ich leider wieder mal keine Ahnung wie ich anfangen soll :-;
Bin für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen oder widerlegen Sie:
> a) In [mm]A_5[/mm] gibt es eine Untergruppe der Ordnung 20.
> b) In [mm]A_n[/mm] sind je zwei Zykel der gleichen Länge
> konjugiert.
>
> Hi.
> Also bei der a hab ich so angefangen, dass die Ordnung von
> [mm]A_5[/mm] = 60 ist und das 20 ein Teiler von 60 ist, und es
> deshalb eine Untergruppe der Ordnung 20 geben kann. Ist das
> so richtig oder hab ich was vergessen?
Ja, die Teilbarkeit ist eine notwendige Bedingung. Aber keine hinreichende.
Wenn es eine solche Untergruppe gibt, gibt es in dieser auch ein Element der Ordnung 5 (warum?). Wie sehen Elemente in [mm] $S_5$ [/mm] der Ordnung 5 aus? Liegen diese in [mm] $A_5$?
[/mm]
> Bei der b) hab ich leider wieder mal keine Ahnung wie ich
> anfangen soll :-;
Beachte erstmal: fuer einen Zykel [mm] $(i_1, \dots, i_k)$ [/mm] und eine Permutation [mm] $\pi \in S_n$ [/mm] gilt [mm] $\pi (i_1, \dots, i_k) \pi^{-1} [/mm] = [mm] (\pi(i_1), \dots, \pi(i_k))$. [/mm] Du musst also zu zwei Zykeln, die in [mm] $A_n$ [/mm] liegen zeigen, dass es ein [mm] $\pi \in A_n$ [/mm] gibt welches die beiden Zykel so ineinander ueberfuehrt.
LG Felix
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Wenn ich nur Elemente der Ordnung 4 hätte, dann hätte die Gruppe maximal die Ordnung 4!, da das ja dann sowas wie eine Standgruppe wäre. Darum müssen auch Elemente der Ordnung 5 in der Untergruppe sein.
Elemente der Ordnung 5 schauen z.B. so aus:
(1,2,3,4,5) und die Potenzen davon.
Nur versteh ich nicht wie mich das jetzt weiterbringt...
Bei der b) fehlt mir trotzdem noch der Zugang zur Aufgabe...
Schonmal Danke für deine Hilfe
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Hi ich bins nochmal...Hab die b) jetzt verstanden denk ich.
Hab einfach ein Gegenbeispiel gefunden.
In [mm] A_4 [/mm] sind ja (123) und (321) nicht kongruent, da das [mm] \pi [/mm] für das gilt
[mm] \pi(1,2,3)\pi^{-1}=(321) [/mm] nicht in [mm] A_4 [/mm] ist.Ist das so richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:15 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi ich bins nochmal...Hab die b) jetzt verstanden denk
> ich.
> Hab einfach ein Gegenbeispiel gefunden.
> In [mm]A_4[/mm] sind ja (123) und (321) nicht kongruent, da das [mm]\pi[/mm]
> für das gilt
> [mm]\pi(1,2,3)\pi^{-1}=(321)[/mm] nicht in [mm]A_4[/mm] ist.Ist das so
> richtig?
Ja, da alle [mm] $\pi$ [/mm] die das erfuellen Transpositionen sind und somit nicht in [mm] $A_4$ [/mm] liegen. Das musst du allerdings noch genauer begruenden.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wenn ich nur Elemente der Ordnung 4 hätte, dann hätte die
> Gruppe maximal die Ordnung 4!, da das ja dann sowas wie
> eine Standgruppe wäre.
Das Argument versteh ich jetzt nicht.
Hattet ihr die Sylow-Saetze schon?
> Darum müssen auch Elemente der
> Ordnung 5 in der Untergruppe sein.
> Elemente der Ordnung 5 schauen z.B. so aus:
> (1,2,3,4,5) und die Potenzen davon.
Alle Elemente der Ordnung 5 sind zu $(1, 2, 3, 4, 5)$ konjugiert.
> Nur versteh ich nicht wie mich das jetzt weiterbringt...
Wie waer's wenn du versuchst, eine passende Untergruppe zu konstruieren? Da irgendeine Konjugierte der Untergruppe eh $(1, 2, 3, 4, 5)$ enthalten muesste, kannst du gleich mit der von $(1, 2, 3, 4, 5)$ erzeugten Untergruppe anfangen. Jetzt musst du noch etwas dazutun. Ein Element der Ordnung 4 ist keine gute Idee: dann muesste die Untergruppe abelsch sein (sonst haette sie mehr als 20 Elemente), womit es ein Element der Ordnung 20 gibt -- aber so etwas hast du in [mm] $S_5$ [/mm] nicht. Also musst du ein Element der Ordnung 2 hinzufuegen. Eine Transposition geht nicht, die liegt nicht in [mm] $A_5$. [/mm] Zwei disjunkte Transpositionen verkettet ergeben aber wieder eine Permutation der Ordnung 2.
Also: so etwas wie die von $(1, 2, 3, 4, 5)$ und $(1, 2) (3, 4)$ erzeugte Untergruppe ist vielleicht eine gute Idee.
(Beachte auch diesen Thread.)
LG Felix
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Hi, die Sylowsätze hatten wir noch nicht.
Bei der b) hab ich das [mm] \pi [/mm] gewählt so das gilt
[mm] \pi(1,2,3)\pi^{-1})=(3,2,1), [/mm] das passt ja für [mm] \pi=(1,3) [/mm] und gezeigt, dass (1,3) nicht in [mm] A_4 [/mm] liegt. Das müsste ja reichen oder?
Bei der a) werd ich mal die Untergruppe erzeugen, aber dann muss ich ja zeigen, dass jedes Element aus der Untergruppe wieder in [mm] A_5 [/mm] liegt oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi, die Sylowsätze hatten wir noch nicht.
Ok. Damit kann man zumindest beweisen: ist $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl, die $|G|$ teilt, so gibt es in $G$ ein Element der Ordnung $p$.
> Bei der b) hab ich das [mm]\pi[/mm] gewählt so das gilt
> [mm]\pi(1,2,3)\pi^{-1})=(3,2,1),[/mm] das passt ja für [mm]\pi=(1,3)[/mm]
> und gezeigt, dass (1,3) nicht in [mm]A_4[/mm] liegt. Das müsste ja
> reichen oder?
Nein, da [mm] $\pi$ [/mm] nicht eindeutig ist. Ich habe dir zwei moegliche Beispiele fuer [mm] $\pi$ [/mm] gegeben. Es koennte ja sein, dass es ein weiteres [mm] $\pi$ [/mm] gibt welches in [mm] $A_4$ [/mm] liegt und welches [mm] $\pi [/mm] (1 2 3) [mm] \pi^{-1} [/mm] = (3 2 1)$ erfuellt.
> Bei der a) werd ich mal die Untergruppe erzeugen, aber dann
> muss ich ja zeigen, dass jedes Element aus der Untergruppe
> wieder in [mm]A_5[/mm] liegt oder?
Wenn die erzeuger in [mm] $A_5$ [/mm] liegen, dann auch die komplette Untergruppe.
Das Hauptproblem ist hier, die Anzahl der Elemente in der von $(1 2 3 4 5)$ und $(1 2) (3 4)$ erzeugten Untergruppe zu bestimmen: sind es wirklich nur 20, oder eventuell mehr?
LG Felix
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Aber ich weis ja, dass:
[mm] \pi(1,2,3)\pi^{-1}=(\pi(1),\pi(2),pi(3)) [/mm] ist.
Also folgt:
[mm] (\pi(1),\pi(2),pi(3))=(3,2,1)
[/mm]
Daraus folgt: [mm] \pi(1)=3
[/mm]
[mm] \pi(2)=2
[/mm]
[mm] \pi(3)=1
[/mm]
Also vertauscht [mm] \pi [/mm] die Zahlen 1 und 3 und lässt alle anderen fest.
Also gibt es nur das [mm] \pi=(1,3).
[/mm]
Oder gibt es noch andere?
Bei der a) hab ich jetzt [mm] \roh=(1,2,3,4,5) [/mm] und [mm] \sigma=(1,2)(3,4) [/mm] gewählt und alle möglichen Verknüpfungen von beiden durchgespielt und komme auf 20 Elemente und die übrigen sind konjugiert zu den ersten 20.
Ist das so ok oder hab ich mal wieder zu einfach gedacht?
Danke für deine Hilfe. Langsam glaub ich, dass ich das Thema versteh...hoff ich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Fr 30.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aber ich weis ja, dass:
> [mm]\pi(1,2,3)\pi^{-1}=(\pi(1),\pi(2),pi(3))[/mm] ist.
> Also folgt:
> [mm](\pi(1),\pi(2),pi(3))=(3,2,1)[/mm]
> Daraus folgt: [mm]\pi(1)=3[/mm]
> [mm]\pi(2)=2[/mm]
> [mm]\pi(3)=1[/mm]
Nein, eben nicht. Es ist ja $(3, 2, 1) = (2, 1, 3) = (1, 3, 2)$. Damit gibt es drei Moeglichkeiten, wie [mm] $\pi$ [/mm] aussehen kann.
> Also vertauscht [mm]\pi[/mm] die Zahlen 1 und 3 und lässt alle
> anderen fest.
> Also gibt es nur das [mm]\pi=(1,3).[/mm]
> Oder gibt es noch andere?
>
> Bei der a) hab ich jetzt [mm]\roh=(1,2,3,4,5)[/mm] und
> [mm]\sigma=(1,2)(3,4)[/mm] gewählt und alle möglichen
> Verknüpfungen von beiden durchgespielt und komme auf 20
> Elemente
Auch wenn du zwei dieser Elemente wieder miteinander verknuepft?
> und die übrigen sind konjugiert zu den ersten
> 20.
Welche uebrigen?
LG Felix
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Ok. Bei der b) hab ich jetzt gezeigt, dass jedes der 3 [mm] \pi [/mm] nicht in [mm] A_4 [/mm] liegt.
Es gibt 3 [mm] \pi, [/mm] weil es 3 Möglichkeiten gibt den Zykel (3,2,1) aufzuschreiben.
Die 3 Möglichkeiten den Zykel (1,2,3) aufzuschreiben lassen sich ja auf einen der ersten 3 Fälle zurückführen.
Bei der a) hab ich mit [mm] \tau=(1,2,3,4,5) [/mm] und [mm] \sigma=(1,2)(3,4) [/mm] eben 20 Elemente gefunden und wenn ich zwei dieser Elemente wieder miteinander verknüpfe kann ich zeigen, wenn man beachtet, dass [mm] \tau^4= \tau^{-1}, \tau^3=(\tau^2)^{-1} [/mm] und [mm] \sigma=\sigma^{-1} [/mm] ist, durch Anwendung der Definition für 2 Konjugierte Zyklen, in eins der 20 Elemente überführen.
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Hallo
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> Bei der a) hab ich mit [mm]\tau=(1,2,3,4,5)[/mm] und
> [mm]\sigma=(1,2)(3,4)[/mm] eben 20 Elemente gefunden und wenn ich
> zwei dieser Elemente wieder miteinander verknüpfe kann ich
> zeigen, wenn man beachtet, dass [mm]\tau^4= \tau^{-1}, \tau^3=(\tau^2)^{-1}[/mm]
> und [mm]\sigma=\sigma^{-1}[/mm] ist, durch Anwendung der Definition
> für 2 Konjugierte Zyklen, in eins der 20 Elemente
> überführen.
Welche sind denn deine 20 Elemente?
Was kriegst du denn, wenn du (1 2 3 4 5) [mm] \circ [/mm] (12)(34) ausrechnest? Ist das in deiner Untergruppe drin?
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 31.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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