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| Aufgabe | Die Lösung der linearen Differentialgleichung erster Ordnung
x'(t) = c x(t) + g(t) (1)
ist
x(t) = [mm] x(t_0) e^{c(t - t_0)} [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds} [/mm] (2) |
Ich versuche gerade zu obigem Satz die Probe zu machen. Bin nicht ganz sicher, ob mein Ansatz stimmt. Wenn ich (2) ableite, komme ich auf:
x'(t) = c [mm] x(t_0) e^{c(t - t_0)} [/mm] - [mm] e^{c(t - t_0)} g(t_0) [/mm] + g(t) (3)
Wenn ich (1) und (3) jetzt gleichsetze und nach x(t) umstelle, komme ich auf
x(t) = [mm] \bruch{e^{c(t - t_0)} (c x(t_0) - g(t_0))}{c} [/mm] (4)
Wenn ich jetzt zeigen könnte, dass (4) und (2) gleich sind, wäre ich am Ziel, richtig?
Kann mir mal einer auf die Sprünge helfen? Ich krieg's irgendwie nicht gebacken ...
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Hiho,
> x'(t) = c [mm]x(t_0) e^{c(t - t_0)}[/mm] - [mm]e^{c(t - t_0)} g(t_0)[/mm] + g(t) (3)
Das stimmt nicht ganz, wie kommst du darauf?
Wenn es dir Probleme macht, dass das t auch im Integral vorkommt, zieh den Term damit raus und verwende die Produktregel.
Korrekt wäre:
$x'(t) = c [mm] x(t_0) e^{c(t - t_0)} + [/mm] c [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds} [/mm] + g(t) $
Nun c ausklammern und dann steht es schon da...
Gruß,
Gono
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Hallo nochmal
>
> > x'(t) = c [mm]x(t_0) e^{c(t - t_0)}[/mm] - [mm]e^{c(t - t_0)} g(t_0)[/mm] +
> g(t) (3)
>
> Das stimmt nicht ganz, wie kommst du darauf?
Also mal angenommen ich definiere folgendes unbestimmte Integral:
I(s) = [mm] \integral{e^{c(t - s)} g(s) ds}
[/mm]
Dann wäre
I'(s) = [mm] e^{c(t - s)} [/mm] g(s)
Also gilt nach (2)
x(t) = [mm] x(t_0) e^{c(t - t_0)} [/mm] + I(t) - [mm] I(t_0)
[/mm]
und somit
x'(t) = [mm] x(t_0) [/mm] c [mm] e^{c(t - t_0)} [/mm] + I'(t) - [mm] I'(t_0) [/mm] = [mm] x(t_0) [/mm] c [mm] e^{c(t - t_0)} [/mm] + [mm] e^{c(t - t)} [/mm] g(t) - [mm] e^{c(t - t_0)} g(t_0) [/mm] = [mm] e^{c(t - t_0)} (x(t_0) [/mm] c - [mm] g(t_0)) [/mm] + g(t)
Was mach ich falsch, und kannst du mir noch näher erläutern wie du auf deins kommst?
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Hiho,
> Also mal angenommen ich definiere folgendes unbestimmte Integral:
>
> I(s) = [mm]\integral{e^{c(t - s)} g(s) ds}[/mm]
Das ist mal großer Blödsinn.
Ein unbestimmtes Integral ist eine Menge von Funktionen, nämlich sämtliche Stammfunktionen zum Integranden.
Links willst du also eine Funktion haben, rechts steht aber eine Menge von Funktionen.
Die Zuweisung ist Murks.
> Dann wäre
>
> I'(s) = [mm]e^{c(t - s)}[/mm] g(s)
Das macht die Sache noch schlimmer…
Was du versuchst anzuwenden ist der ![[]](/images/popup.gif) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Dort geht es aber um bestimmte Integrale!
Schlag den nochmal nach, mache dir die Unterschiede bewusst.
D.h. bei dir müsste sowas gegeben sein: $I(t) = [mm] \int_{t_0}^t [/mm] f(s) ds$ für eine stetige Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$.
[/mm]
Dann wäre $I'(t) = f(t)$.
Du hast nun aber dein Problem, dass dein Integrand selbst noch von t abhängt, du hast also sowas wie: $I(t) = [mm] \int_{t_0}^t [/mm] f(t,s) ds$
Und da ist das mit der Ableitung eben nicht mehr so einfach.
Darum mein Tipp: Versuche alle Terme mit t vor das Integral zu ziehen, so dass du einen Ausdruck der Form [mm] $h(t)\int_{t_0}^t [/mm] f(s) ds$ bekommst, dann kannst du bei der Ableitung die Produktregel und den Hauptsatz verwenden…
Edit: alternativ verwende die Leibnizregel für Parameterintegrale
Gruß,
Gono
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Hallo,
> Was du versuchst anzuwenden ist der
> Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
>
> Dort geht es aber um bestimmte Integrale!
> Schlag den nochmal nach, mache dir die Unterschiede
> bewusst.
Also ich hab mir den jetzt nochmal zu Gemüte geführt.
Es gilt also:
[mm] (\integral_{a}^{b}{f(x) dx})' [/mm] = f(b)
Der Vollständigkeit halber hier die Lösung:
x'(t)
= [mm] (x(t_0) e^{c(t - t_0)} [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds})'
[/mm]
= [mm] (x(t_0) e^{c(t - t_0)})' [/mm] + [mm] (\integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds})'
[/mm]
= [mm] ce^{c(t - t_0)} x(t_0) [/mm] + [mm] (e^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds})'
[/mm]
= [mm] ce^{c(t - t_0)} x(t_0) [/mm] + [mm] ce^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds} [/mm] + [mm] e^{ct} e^{-ct} [/mm] g(t)
= [mm] ce^{c(t - t_0)} x(t_0) [/mm] + [mm] ce^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds} [/mm] + g(t)
= [mm] c(x(t_0) e^{c(t - t_0)} [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t-s)} g(s) ds}) [/mm] + g(t)
= c x(t) + g(t)
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Hiho,
> Es gilt also:
>
> [mm](\integral_{a}^{b}{f(x) dx})'[/mm] = f(b)
Das kommt darauf an, was du mit deinen Strich meinst.
Wenn du damit meinst "nach b Ableiten", dann ist das korrekt. Ansonsten nicht.
> Der Vollständigkeit halber hier die Lösung:
>
> x'(t)
> = [mm](x(t_0) e^{c(t - t_0)}[/mm] + [mm]\integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds})'[/mm]
>
> = [mm](x(t_0) e^{c(t - t_0)})'[/mm] + [mm](\integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds})'[/mm]
>
> = [mm]ce^{c(t - t_0)} x(t_0)[/mm] + [mm](e^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds})'[/mm]
>
> = [mm]ce^{c(t - t_0)} x(t_0)[/mm] + [mm]ce^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds}[/mm]
> + [mm]e^{ct} e^{-ct}[/mm] g(t)
> = [mm]ce^{c(t - t_0)} x(t_0)[/mm] + [mm]ce^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds}[/mm]
> + g(t)
> = [mm]c(x(t_0) e^{c(t - t_0)}[/mm] +
> [mm]\integral_{t_0}^{t}{e^{c(t-s)} g(s) ds})[/mm] + g(t)
> = c x(t) + g(t)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mal den anderen Ansatz probiert?
Gruß
Gono
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