Diff'barkeit und Differential < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Mi 27.04.2016 | | Autor: | studiseb |
| Aufgabe | Sei [mm] f:R^2->R [/mm] gegeben durch [mm] f(x,y)=1+3x+4y+5xy^2
[/mm]
a) Zeige, dass f in a=(0,0) diff'bar ist und bestimme das Differential [mm] d_{a}f.
[/mm]
b) Zeige, dass f in a=(1,2) diff'bar ist und bestimme das Differential [mm] d_{b}f. [/mm] |
Guten Morgen zusammen, vielleicht kann mir einer bei dem letzten Schitt hefen, irgenwie erschließt sich das bei mir noch nicht, oder hab ich vorher einen Fehler gemacht. DANKE!
Eine Funktion [mm] f:R^2->R [/mm] heißt diff'bar in [mm] a=(x_{0},y_{0}) [/mm] gdw. [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) [/mm] exisitieren und wenn
[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-[\bruch{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) ](x-x_{0})-\bruch{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) }{||x-a||}=0
[/mm]
Die Richtungsableitungen existieren, denn:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] =8 und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=4+10y
[/mm]
Ist also noch zu zeigen, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-[\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) ](x-0)-\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0) }{||x-a||}=0 [/mm] ist.
Also:
[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{(1+3x+4y+5xy^2)-1-8x-4y}{||x-a||}=\bruch{-5x+5xy^2}{||x-a||}
[/mm]
doch wie weiß ich jetzt das das ganze gegen 0 läuft?
Für das Differential gilt dann: [mm] d_{a}f(v)=
Also: [mm] <(8,4),v>=8v_{1}+4v_{2}
[/mm]
Kann ich das so machen? DANKE schon mal im Voraus!
LG Seb
PS: Aufgabenteil b) funktioniert ja dann analog nur im Punkt (1,2)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, deine Ableitungen sind falsch
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=3+5y^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=4+10xy
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Mi 27.04.2016 | | Autor: | studiseb |
Ohh ja! Danke Steffi, da war ich einfach zu schnell 
wenn ich das dann allerdings mit den richtigen Ableitungen durchrechne, erhalte ich:
[mm] ...=\limes_{x\rightarrow a}=\bruch{5xy^2}{||x-a||} [/mm] doch wie kann ich jetzt zeigen, dass das 0 ist? Das ist mir noch nicht ersichtlich.
Reicht es zu sagen, dass ich im Zähler dann " [mm] \approx 5*0*0^2 [/mm] " = 0 stehen habe weil ja a=(0,0) ist und x dagegen läuft?
Seb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Mi 27.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ohh ja! Danke Steffi, da war ich einfach zu schnell
>
> wenn ich das dann allerdings mit den richtigen Ableitungen
> durchrechne, erhalte ich:
> [mm]...=\limes_{x\rightarrow a}=\bruch{5xy^2}{||x-a||}[/mm]
Deine Bezeichnungweise ist denkbar schlecht ! x kommt in 2 bedeutungen vor:
1. in [mm] 5xy^2 [/mm] ist x eine reelle Zahl
2. in [mm] $x\rightarrow [/mm] a$ und in $||x-a||$ ist x ein Element des [mm] \IR^2.
[/mm]
Mit a=(0,0) schribt sich Dein unglücklicher Bruch [mm] \bruch{5xy^2}{||x-a||}
[/mm]
korrekt so:
[mm] \bruch{5xy^2}{||(x,y)||}.
[/mm]
> doch
> wie kann ich jetzt zeigen, dass das 0 ist? Das ist mir noch
> nicht ersichtlich.
>
> Reicht es zu sagen, dass ich im Zähler dann " [mm]\approx 5*0*0^2[/mm]
> " = 0 stehen habe weil ja a=(0,0) ist und x dagegen
> läuft?
Nein, das reicht natürlich nicht, denn in
[mm] \bruch{5xy^2}{||(x,y)||}
[/mm]
streben Zähler und Nenner für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) gegen 0.
Zu zeigen ist
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{5xy^2}{||(x,y)||}=0
[/mm]
Das geht am einfachste mit Polarkoordinaten: [mm] x=rcos(\phi), y=rsnin(\phi)
[/mm]
Es ist r=||(x,y)||
FRED
>
> Seb
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mi 27.04.2016 | | Autor: | studiseb |
> Zu zeigen ist
>
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{5xy^2}{||(x,y)||}=0[/mm]
>
>
> Das geht am einfachste mit Polarkoordinaten: [mm]x=rcos(\phi), y=rsin(\phi)[/mm]
>
> Es ist r=||(x,y)||
So weit so gut, dass r=||(x,y)|| ist klar, da [mm] sin^2+cos^2=1. [/mm] Doch wie verfahre ich im Zähler?
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{5(rcos(\phi))(rsin(\phi))^2}{r}
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{5r^3(cos(\phi))(sin(\phi)^2}{r}
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}5r^2cos(\phi)sin^2(\phi)
[/mm]
Warum kann ich dann sagen, dass es gleich 0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mi 27.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Zu zeigen ist
> >
> > [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{5xy^2}{||(x,y)||}=0[/mm]
>
> >
> >
> > Das geht am einfachste mit Polarkoordinaten: [mm]x=rcos(\phi), y=rsin(\phi)[/mm]
>
> >
> > Es ist r=||(x,y)||
>
>
> So weit so gut, dass r=||(x,y)|| ist klar, da
> [mm]sin^2+cos^2=1.[/mm] Doch wie verfahre ich im Zähler?
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{5(rcos(\phi))(rsin(\phi))^2}{r}[/mm]
Mach Dir klar: (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) [mm] \gdw [/mm] r [mm] \to [/mm] 0.
>
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{5r^3(cos(\phi))(sin(\phi)^2}{r}[/mm]
>
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}5r^2cos(\phi)sin^2(\phi)[/mm]
>
> Warum kann ich dann sagen, dass es gleich 0 ist?
Mach Dir klar:
[mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}5r^2cos(\phi)sin^2(\phi)=0[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]\limes_{r \rightarrow 0}5r^2cos(\phi)sin^2(\phi)}=0[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]\limes_{r \rightarrow 0}5r^2|cos(\phi)sin^2(\phi)|}}=0[/mm]
Nun ist [mm] 5r^2|cos(\phi)sin^2(\phi)| \le 5r^2
[/mm]
Klappts jetzt ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 27.04.2016 | | Autor: | studiseb |
Viele, vielen Dank für die Hilfe! Jetzt klappts
Und mein Differential kann ich dann einfach wie folgt berechen?
[mm] d_{a}f(v)==<(\bruch{\partial f}{\partial x}(a),\bruch{\partial f}{\partial y}(a)),v>=<(3,4),(v_1,v_2)>=3v_1+4v_2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Mi 27.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Viele, vielen Dank für die Hilfe! Jetzt klappts
>
> Und mein Differential kann ich dann einfach wie folgt
> berechen?
>
> [mm]d_{a}f(v)==<(\bruch{\partial f}{\partial x}(a),\bruch{\partial f}{\partial y}(a)),v>=<(3,4),(v_1,v_2)>=3v_1+4v_2[/mm]
Ja, das ist die Richtungsableitung von f in a in Richtung V.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 28.04.2016 | | Autor: | studiseb |
Nochmals danke für die Hilfe bei Aufgabenteil a), der ist mir soweit klar!
Jetzt hänge ich aber Teil b) fest, da da leider nicht mehr so viel wegfällt wie zuvor.
Ich habe berechnet:
f(1,2)=32
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(1,2)=23
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(1,2)=24
[/mm]
und analog zu Teil a) erhalte ich dann
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{40-20x-20y+5xy^2}{||(x,y)-(1,2)||}
[/mm]
Hab ich da einen falschen Ansatz gewählt, denn wenn ich hier auch mit den Polarkoordinaten rechne, wird dir die Gleichung nicht wirklich "schöner" :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Do 28.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Nochmals danke für die Hilfe bei Aufgabenteil a), der ist
> mir soweit klar!
>
> Jetzt hänge ich aber Teil b) fest, da da leider nicht mehr
> so viel wegfällt wie zuvor.
>
> Ich habe berechnet:
> f(1,2)=32
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(1,2)=23[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(1,2)=24[/mm]
>
> und analog zu Teil a) erhalte ich dann
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{40-20x-20y+5xy^2}{||(x,y)-(1,2)||}[/mm]
Das solltest Du nochmal nachrechnen
FRED
>
> Hab ich da einen falschen Ansatz gewählt, denn wenn ich
> hier auch mit den Polarkoordinaten rechne, wird dir die
> Gleichung nicht wirklich "schöner" :-(
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Fr 29.04.2016 | | Autor: | studiseb |
Ich habs nochmal nach gerechnet, komme aber auf das gleiche Ergebniss: Hier mein Lösungsweg, vielleicht hab ich da ja noch was übersehen:
Ich muss doch zeigen, dass gilt:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{f(x,y)-f(1,2)-[\bruch{\partial f}{\partial x}(1,2) ](x-1)-\bruch{\partial f}{\partial y}(1,2)(y-2) }{||z-b||}=0
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{(1+3x+4y+5xy^2)-32-23(x-1)-24(y-2)}{||(x,y)-(1,2)||}
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{1+3x+4y+5xy^2-32-23x+23-24y+48}{\wurzel{(x-1)^2+(y-2)^2}}
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{40-20x-20y+5xy^2}{\wurzel{x^2+y^2-2x-4y+5}}
[/mm]
Wie kann ich da was zusammenfassen? Hab ich was übersehen?
Oder einfach nur ein Brett vor dem Kopf 
DANKE für die Hilfe und einen schönen Start ins Wochenende!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Fr 29.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich habs nochmal nach gerechnet, komme aber auf das gleiche
> Ergebniss:
Du hast recht, ich hab mich vertan
> Hier mein Lösungsweg, vielleicht hab ich da ja
> noch was übersehen:
>
> Ich muss doch zeigen, dass gilt:
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{f(x,y)-f(1,2)-[\bruch{\partial f}{\partial x}(1,2) ](x-1)-\bruch{\partial f}{\partial y}(1,2)(y-2) }{||z-b||}=0[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{(1+3x+4y+5xy^2)-32-23(x-1)-24(y-2)}{||(x,y)-(1,2)||}[/mm]
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{1+3x+4y+5xy^2-32-23x+23-24y+48}{\wurzel{(x-1)^2+(y-2)^2}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{40-20x-20y+5xy^2}{\wurzel{x^2+y^2-2x-4y+5}}[/mm]
>
> Wie kann ich da was zusammenfassen? Hab ich was
> übersehen?
> Oder einfach nur ein Brett vor dem Kopf
>
> DANKE für die Hilfe und einen schönen Start ins
> Wochenende!
>
Nun ist zu zeigen: [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (1,2)}\bruch{40-20x-20y+5xy^2}{\wurzel{x^2+y^2-2x-4y+5}}=0.
[/mm]
Setze [mm] x-1=rcos(\phi) [/mm] und [mm] y-2=rsin(\phi) [/mm] (Polarkoordinaten),
also [mm] x=1+rcos(\phi) [/mm] und [mm] y=2+rsin(\phi)
[/mm]
Setze das in [mm] \bruch{40-20x-20y+5xy^2}{\wurzel{x^2+y^2-2x-4y+5}} [/mm] und schau, was passiert, wenn r [mm] \to [/mm] 0 geht.
Du wirst einen Ausdruck der Form "0/0" bekommen.
Nun gehe ins Hospital.
FRED
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