Diff gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Do 15.07.2010 | | Autor: | OGGY8 |
so also allgemeine lsg hab ich komm ich auch klar y=e^(3x)*(C1+C2x)
mit der störfunktion steh ich auf kriegsfuß.
unser Prof hat uns ne fromel gegebn weis der geier ob die auch für dgl 2ter ordnung gilt da wäre dann die lösung (1/11)*e^3x
Habs auch mal mit der Fromel aus dem Papula probiert da komm ich aber nicht weiter. Da wäre der ansatz A*x²*e^3x
Bitte um schnelle ratschäge das morgen so weit ist 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Do 15.07.2010 | | Autor: | xPae |
Hallo,
um eine Differentialgleichung mit Störfunktion zu lösen solltest du zunächst die homologe Lösung berechnen. Also diese:
[mm] y''-6y'+9y=e^{3*x}=0 [/mm]
Dies ist über den Exponentialansatz zu lösen, den du kennen solltest.
Aber hier noch einmal zusammen gefasst:
[mm] \lambda^{2}+p*\lambda+q=0
[/mm]
1.Fall
[mm] \lambda_{1},\lambda_{2} [/mm] reel und [mm] \lambda_{1}\not=\lambda_{2} [/mm] folgt:
[mm] y(x)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*x}+C_{2}*e^{\lambda_{2}*x}
[/mm]
2. Fall
[mm] \lambda_{1},\lambda_{2}=k \pm i*\omega [/mm] komplex und folgt:
[mm] y(x)=e^{k*x}(C_{1}*cos(\omega*x)+C_{2}*sin(\omega*x)
[/mm]
3. Fall
[mm] \lambda_{1},\lambda_{2} [/mm] reel und [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2} [/mm] folgt:
[mm] y(x)=(C_{1}+C_{2}*x)e^{\lambda_{1}*x}
[/mm]
DIe Konstante ergeben sich aus den Anfangsbedingungen, wie zum Beispiel y(0)=0 oder y'(0)=1 dann musst du halt diese Lösungen ableiten (beim zweiten Anfangswert) und Einsetzen, dann C bestimmen.
So kommen wir jetzt zur eigentlich Frage, mir kam es aber so vor, als wenn du es noch nicht so richtig rausgefunden hast, wie man mit Diff-Gleichungen umgeht!
Bei Störfunktionen gilt die Lösung
[mm] y(x)_{gesamt}= [/mm] homogene Lösung (DiffGl=0) und inhomogene Lösung (DiffGl=g(x))
[mm] y=y_{h}+y_{ih}
[/mm]
Jetzt musst du je nach Störfunktionen einen anderen Ansatz wählen.
Für den Fall [mm] g(x)=e^{c*x} [/mm] wird der einfache Ansatz [mm] y_{ih}=A*e^{c*x}
[/mm]
Jetzt wird dieser Ansatz zwei Mal abgeleitet und dann einfach in die Diffenrential gleichung eingesetzt:
[mm] y=A*e^{3*x} [/mm] mit c=3, folgt aus [mm] g(x)=e^{3*x}
[/mm]
[mm] y'=3*A*e^{3*x}
[/mm]
[mm] y''=9*A*e^{3*x}
[/mm]
[mm] 9*A*e^{3*x}-6*3*A*e^{3*x}+9*A*e^{3*x}=1*e^{3*x}
[/mm]
.....12*A=1
Jetzt Koeffizienten Vergleich!
Hoffe es wurde einigermaßen verstanden. Dann setzte die Lösung die du hast mal ein und überprüfe, ob die Lösung stimmt!.
Seite für Ansätze:
http://homepages.fh-giessen.de/~hg8070/math2kmub09/sk09.pdf
Lg xPae
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Do 15.07.2010 | | Autor: | OGGY8 |
Jup danke nochmal für die erklärung so hab ichs jetzt auch rausgebracht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> um eine Differentialgleichung mit Störfunktion zu lösen
> solltest du zunächst die homologe Lösung berechnen. Also
> diese:
>
> [mm]y''-6y'+9y=e^{3*x}=0[/mm]
>
> Dies ist über den Exponentialansatz zu lösen, den du
> kennen solltest.
> Aber hier noch einmal zusammen gefasst:
>
> [mm]\lambda^{2}+p*\lambda+q=0[/mm]
> 1.Fall
>
> [mm]\lambda_{1},\lambda_{2}[/mm] reel und
> [mm]\lambda_{1}\not=\lambda_{2}[/mm] folgt:
> [mm]y(x)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*x}+C_{2}*e^{\lambda_{2}*x}[/mm]
>
> 2. Fall
> [mm]\lambda_{1},\lambda_{2}=k \pm i*\omega[/mm] komplex und
> folgt:
> [mm]y(x)=e^{k*x}(C_{1}*cos(\omega*x)+C_{2}*sin(\omega*x)[/mm]
>
> 3. Fall
> [mm]\lambda_{1},\lambda_{2}[/mm] reel und [mm]\lambda_{1}=\lambda_{2}[/mm]
> folgt:
> [mm]y(x)=(C_{1}+C_{2}*x)e^{\lambda_{1}*x}[/mm]
>
> DIe Konstante ergeben sich aus den Anfangsbedingungen, wie
> zum Beispiel y(0)=0 oder y'(0)=1 dann musst du halt diese
> Lösungen ableiten (beim zweiten Anfangswert) und
> Einsetzen, dann C bestimmen.
>
> So kommen wir jetzt zur eigentlich Frage, mir kam es aber
> so vor, als wenn du es noch nicht so richtig rausgefunden
> hast, wie man mit Diff-Gleichungen umgeht!
>
> Bei Störfunktionen gilt die Lösung
>
> [mm]y(x)_{gesamt}=[/mm] homogene Lösung (DiffGl=0) und inhomogene
> Lösung (DiffGl=g(x))
> [mm]y=y_{h}+y_{ih}[/mm]
> Jetzt musst du je nach Störfunktionen einen anderen
> Ansatz wählen.
> Für den Fall [mm]g(x)=e^{c*x}[/mm] wird der einfache Ansatz
> [mm]y_{ih}=A*e^{c*x}[/mm]
>
> Jetzt wird dieser Ansatz zwei Mal abgeleitet und dann
> einfach in die Diffenrential gleichung eingesetzt:
>
> [mm]y=A*e^{3*x}[/mm] mit c=3
Das ist nicht der richtige Ansatz für eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung !!
> , folgt aus [mm]g(x)=e^{3*x}[/mm]
> [mm]y'=3*A*e^{3*x}[/mm]
> [mm]y''=9*A*e^{3*x}[/mm]
>
>
> [mm]9*A*e^{3*x}-6*3*A*e^{3*x}+9*A*e^{3*x}=1*e^{3*x}[/mm]
> .....12*A=1
........................und es folgt: [mm] 0=1*e^{3*x}
[/mm]
FRED
> Jetzt Koeffizienten Vergleich!
> Hoffe es wurde einigermaßen verstanden. Dann setzte die
> Lösung die du hast mal ein und überprüfe, ob die Lösung
> stimmt!.
> Seite für Ansätze:
>
> http://homepages.fh-giessen.de/~hg8070/math2kmub09/sk09.pdf
>
> Lg xPae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Do 15.07.2010 | | Autor: | OGGY8 |
So jetzt hab ich noch etwas getüftelt und bin für yp= 12e^3x zu einem ergebins gekommen. jetzt nur die frage ob das so richtig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> So jetzt hab ich noch etwas getüftelt und bin für yp=
> 12e^3x zu einem ergebins gekommen. jetzt nur die frage ob
> das so richtig ist.
nein. [mm] 12e^{3x} [/mm] ist eine Lösung der homogenen Gleichung !!!!!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Do 15.07.2010 | | Autor: | OGGY8 |
Na ja ne die lösung für die Homogene lautet doch y= (Ax+B)*e^3x
die für die Inhomogene (1/12)e^3x
So die Lösungsmenge ist doch Homogene + Inhomogene also y=(Ax+B)*e^3x+(1/12)e^3x
In die allgemeine Lösung kann man jetzt seine Anfangswerte einsetzten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Na ja ne die lösung für die Homogene lautet doch y=
> (Ax+B)*e^3x
> die für die Inhomogene (1/12)e^3x
Nein. Setze oben A =0 und B=1/12
Dann ist (1/12)e^3x eine Lösung der homogenen Gleichung
Der Ansatz von Xpae war falsch !
FRED
>
> So die Lösungsmenge ist doch Homogene + Inhomogene also
> y=(Ax+B)*e^3x+(1/12)e^3x
>
> In die allgemeine Lösung kann man jetzt seine Anfangswerte
> einsetzten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Do 15.07.2010 | | Autor: | OGGY8 |
ja wenn du für A und B was einsetzt hast du praktisch ne lösung mit Anfangswertproblem bestimmt.
Aber die allgemeine Lösung ist doch das hier?
y=(Ax+B)*e^3x+(1/12)e^3x
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> ja wenn du für A und B was einsetzt hast du praktisch ne
> lösung mit Anfangswertproblem bestimmt.
>
> Aber die allgemeine Lösung ist doch das hier?
>
> y=(Ax+B)*e^3x+(1/12)e^3x
Nein, aber Du weißt ja alles besser
FRED
>
>
> ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Do 15.07.2010 | | Autor: | OGGY8 |
ich frag ja nur das in den unterlagen so drin steht... ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Do 15.07.2010 | | Autor: | xPae |
Sorry,
der Ansatz muss natürlich
[mm] y(x)=x^{2}*A*e^{e*x}, [/mm] da [mm] A*e^{c*x} [/mm] ,da homologe teillösungen [mm] e^{c*x} [/mm] und [mm] x*e^{c*x} [/mm] sind.
Ableiten und Einsetzen bleibt gleich!
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