Diffb. Mannigf. und Immersion < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \text{Seien } M_1, M_2, M_3 \text{ differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse } C^1 \text{ und sei } f_1 \in C^1(M_1,M_2) \text{ und }f_2 \in C^1(M_2,M_3).
[/mm]
[mm] \text{ Vorausgesetzt } f_2 \circ f_1 \text{ ist eine Immersion, kann man dann daraus schließen, dass auch } f_1 \text{ bzw. } f_2 \text{ Immersionen sind? } [/mm] |
Hi,
Zunächst einmal ist eine Abbildung genau dann eine Immersion, wenn das Differential dieser Abbildung injektiv ist.
Sei nun p [mm] \in M_1 [/mm] und sei (U, x, [mm] \Omega) [/mm] eine Karte von [mm] M_1 [/mm] um p, (V, y, [mm] \Gamma) [/mm] eine Karte von [mm] M_2 [/mm] um [mm] f_1(p) [/mm] und [mm] (W,z,\Sigma) [/mm] eine Karte von [mm] M_3 [/mm] um [mm] f_2 \circ f_1(p).
[/mm]
Dann kann man folgendes definieren (Differentiale der jeweiligen Kartenwechsel):
[mm] L_1 [/mm] := D(y [mm] \circ f_1 \circ x^{-1})|_{x(p)}
[/mm]
[mm] L_2 [/mm] := D(z [mm] \circ f_2 \circ y^{-1})|_{x(p)}
[/mm]
[mm] L_3 [/mm] := [mm] L_2 \circ L_1 [/mm] = D(z [mm] \circ f_2 \circ y^{-1} \circ [/mm] y [mm] \circ f_1 \circ x^{-1}) [/mm] = D(z [mm] \circ f_2 \circ f_1 \circ x^{-1}).
[/mm]
Wenn man nun voraussetzt, das [mm] f_2 \circ f_1 [/mm] eine Immersion ist. Dann ist das Differential [mm] L_3 [/mm] injektiv.
Okay... soweit so gut. Nun mein Problem:
In der Aufgabenlösung wird nun der Schluss gezogen, dass wenn [mm] L_3 [/mm] injektiv ist, dass auch [mm] L_1 [/mm] injektiv ist, und damit impliziert wird, dass auch [mm] f_1 [/mm] eine Immersion ist.
Diesen Schritt verstehe ich nicht. Wie kann man sich das plausibel machen?
Um zu zeigen, dass für [mm] f_2 [/mm] kein derartiger Schluss möglich ist, wurde ein Beispiel herangezogen:
Sei [mm] h_1: \IR \rightarrow \IR^2 [/mm] und [mm] h_2: \IR^2 \rightarrow \IR [/mm] durch
[mm] h_1(t) [/mm] := (t,0) und [mm] h_2(a) [/mm] := [mm] a^1
[/mm]
definiert, so soll nun [mm] h_2 \circ h_1 [/mm] eine Immersion sein, aber nicht [mm] h_2.
[/mm]
Setze ich das mal ein:
[mm] h_2 \circ h_1 [/mm] = [mm] h_2((t,0)) [/mm] = t
Das Differential davon ist, [mm] D(h_2(h_1(t))) [/mm] = [mm] \frac{d(h_2(h_1(t)))}{dt} [/mm] = 1.
Ich habe also eine Abbildung [mm] h_2 \circ h_1 [/mm] : [mm] \IR \rightarrow \IR. [/mm] Die Abbildung kann schonmal nicht surjektiv sein, da die Bildmenge des Differentials [mm] \IR [/mm] nicht komplett abdeckt. Das Bild ist ja nur der Wert 1.
Injektiv kann die Abbildung aber eigentlich auch nicht sein, da ja alle t [mm] \in \IR [/mm] auf den Wert 1 abgebildet werden. D.h. die Abbildung ist weder surjektiv noch injektiv. Laut Aufgabe soll diese aber injektiv sein.
An dieser Stelle scheine ich Surjektivität und Injektivität nicht verstanden zu haben.
Kann mir jemand weiterhelfen, wo mein Fehler ist?
Danke :)
Viele Grüße
Matze
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 04.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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