Diffbar in (0,0) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mo 24.05.2010 | | Autor: | rml_ |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktion f , g : R2 →R im Nullpunkt (0,0) differenzierbar
ist und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung im Nullpunkt
f(x,y) = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] sin [mm] \left( \bruch{1}{\sqrt {x^2 + y^2}} \right), [/mm] (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) und f(0,0) = 0 |
hallo:)
was sind die kriterien hierfür?
danke im vorraus
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Hallo!
> Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktion f , g : R2 →R
> im Nullpunkt (0,0) differenzierbar
> ist und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung im
> Nullpunkt
>
> f(x,y) = [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] sin [mm]\left( \bruch{1}{\sqrt {x^2 + y^2}} \right),[/mm]
> (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) und f(0,0) = 0
> hallo:)
>
> was sind die kriterien hierfür?
Um diese Funktion auf Differenzierbarkeit zu untersuchen, würde ich die folgenden Kriterien anwenden:
1.) Wie sieht es aus mit der Stetigkeit von f in (0,0)?
Trifft dies nicht zu, ist f nicht differenzierbar. Wenn dies zutrifft, fahre mit 2.) fort.
2.) Was kann man über die partielle Differenzierbarkeit von f in (0,0) sagen?
Wenn dieses Kriterium versagt, ist f nicht differenzierbar. Sollte f in (0,0) partiell differenzierbar sein, so untersuche das dritte Kriterium.
3.) Existieren die partiellen Ableitungen von f in einer Umgebung von (0,0) und sind diese in (0,0) stetig?
Wenn hier beide Kriterien zutreffen, ist f differenzierbar. Sollte dies nicht der Fall sein, so untersuche zuletzt noch den vierten Punkt.
4.) Gilt [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-f_{x}(0,0)(x-0)-f_{y}(0,0)(y-0)}{|(x-0,y-0)|}=0?
[/mm]
Greift dieses Kriterium, so ist f differenzierbar, andernfalls nicht.
Übrigens ist f vollständig differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen stetig sind.
Und noch ein Hinweis: Mit Polarkoordinaten rechnet es sich leichter.
>
> danke im vorraus
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Mo 24.05.2010 | | Autor: | rml_ |
wow danke für die ausführliche erklärung:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Di 25.05.2010 | | Autor: | rml_ |
wenn ich f(x,0) mache dann: sin [mm] \left( \bruch{1}{x} \right)
[/mm]
und wie war das nochmal wenn beim sinus oben die ableitung vom nenner steht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> wenn ich f(x,0) mache dann: sin [mm]\left( \bruch{1}{x} \right)[/mm]
Nein. Für x [mm] \ne [/mm] 0 ist $f(x,0)= [mm] x^2*sin(\bruch{1}{|x|})$
[/mm]
>
> und wie war das nochmal wenn beim sinus oben die ableitung
> vom nenner steht?
Kannst Du die FRage verständlich formulieren ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:04 Di 25.05.2010 | | Autor: | rml_ |
jaja klar
ich hab das [mm] x^2 [/mm] weggelassen weil der kern meiner frage beim sinus liegt
und zwar , ich bin mir nicht ganz sicher, aber man konnte das doch i.wie umschreiben wenn im zähler die ableitung vom nenner stand oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 27.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Di 25.05.2010 | | Autor: | rml_ |
andere frage:
f(x,0)= [mm] x^2\cdot{}sin(\bruch{1}{|x|}) [/mm] , kann ich sagen für x->0 geht sin gegen null-> f(x,0)=0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> andere frage:
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> f(x,0)= [mm]x^2\cdot{}sin(\bruch{1}{|x|})[/mm] , kann ich sagen für
> x->0 geht sin gegen null-> f(x,0)=0?
Unfug !
[mm] $|f(x,0)|=x^2\cdot{}|sin(\bruch{1}{|x|})| \le x^2$
[/mm]
somit: f(x,0) [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0
FRED
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