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| Aufgabe | Ist die Funktion f : [0,oo[ auf R mit
[mm] f(n)=\begin{cases} {\wurzel{x} - 1}/{x-1}, & \mbox{für } n \mbox{ ungleich 1} \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ gleich 1} \end{cases}
[/mm]
ist f(x) in x = 1 differenzierbar? |
Die Fkt ist offensichtlich auf R ohne n = 1 differenzierbar aber bei n=1 anscheinend nicht. Jedoch weis ich nicht wie ich dies zeigen soll.
Wenn dieser Grenzwert existiert soll die Fkt. diffbar sein.
lim [mm] \bruch{f(x) - f(x0)}{x-x0}
[/mm]
x gegen xo
Wenn ich jetzt meine Fkt einsetzte
lim [mm] \bruch{ \bruch{ \wurzel{x} - 1}{x-1} - \bruch{1}{2}
}{x-1}
[/mm]
x gegen 1
find ich irgendwie kein weg wie ich die diffbarkeit zeigen könnte. Wenn ich versuch oben und unten die ableitung zu bilden verkompliziert sich nur der bruch ohne eine lösung.
Kann mir jmd helfen die Differenzierbarkeit/keine Diffbarkeit hier zu zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo meldrolon!
Forme die Funktionsvorschrift erst einmal um zu:
[mm] $$\bruch{\wurzel{x}-1}{x-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{x}-1}{\left(\wurzel{x}-1\right)*\left(\wurzel{x}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Mi 15.10.2008 | | Autor: | meldrolon |
Ich hab jetzt doch eine Lsg
nach einsetzten mit h = x − x0
umstellen und 2 mal ableiten dass
[mm] -\bruch{1}{8\*3tewurzelx} [/mm] für x gegen 1
nun wäre die Lsg [mm] -\bruch{1}{8}
[/mm]
kann man sagen da eine Lsg existiert ist die Fkt bei 1 diffbar?
danke lodar auch nach deinem ansatz komm ich auf [mm] -\bruch{1}{8} [/mm] also scheint es ja richtig zu sein :D
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