Diffbarkeit ohne Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Di 13.01.2015 | | Autor: | Palaver |
| Aufgabe | Angenommen in der Definition des Differenzenquotienten lassen wir die Forderung nach Stetigkeit der Funktion f weg.
Gibt es dann differenzierbare Funktionen, die nicht stetig sind? Begrüunden Sie Ihre Antwort. |
Guten Tag,
ich schlage mich momentan mit der obigen Aufgabe herum, und weiß nicht so recht wohin.
Ich habe schon etwas recherchiert und komme zu gegensätzlichen Ergebnissen:
- Ich finde Beweise dafür, dass aus der Defintion der Differenzierbarkeit, also dass ein Grenzwert des Differenzialquotienten in einem Punkt [mm] x_{0} [/mm] existiert, sofort auch die Stetigkeit in eben diesem Punkt [mm] x_{0} [/mm] folgt.
- Ich habe die Funktion
f(x) = [mm] x^{2} [/mm] * [mm] sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
gefunden, die meines Erachtens überall differenzierbar ist, in [mm] x_{0} [/mm] = 0 jedoch nicht stetig ist.
Da, wie ich finde, die Aufgabe förmlich nach einem Gegenbeispiel schreit, wollte ich nun die Differenzierbarkeit der Funktion f zeigen.
Dass die Funktion [mm] x^{2} [/mm] * [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] in [mm] x_{0} [/mm] = 0 differenzierbar ist, habe ich bereits geprüft, doch wie zeige ich, dass sie dies auch für alle anderen [mm] x_{0} \in \IR [/mm] ist?
Ich weiß, dass das Produkt differenzierbarer Funktionen wieder differenzierbar ist:
Für [mm] x^{2} [/mm] erhalte ich aus dem Differenzialquotient:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(x+h)^{2}-(x)^{2}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{2xh - h^{2}}{h} [/mm] = 2x
Wie zeige ich hieraus nun, dass 2x überall einen Grenzwert besitzt und der links- bzw. der rechtsseitige Grenzwert gleich sind?
Beim [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] komme ich nicht so recht weiter, wir hatten bisher nur gehabt, dass sin(x) differenzierbar ist:
[mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{sin(\bruch{1}{x+h}) - sin(\bruch{1}{x})}{h} [/mm] = [mm] \bruch{sin(1/x + 1/h) - sin(\bruch{1}{x})}{h}
[/mm]
und jetzt vielleicht Additionstheoreme?
Es wäre super, wenn hier jemand rüberschauen könnte und mir eventuell Tipps zum weiteren Vorgehen geben könnte.
Liebe Grüße
Palaver
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Di 13.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Angenommen in der Definition des Differenzenquotienten
> lassen wir die Forderung nach Stetigkeit der Funktion f
> weg.
Für diese Def. benötigt man doch keine Stetigkeit ! ????
> Gibt es dann differenzierbare Funktionen, die nicht stetig
> sind? Begrüunden Sie Ihre Antwort.
> Guten Tag,
>
> ich schlage mich momentan mit der obigen Aufgabe herum, und
> weiß nicht so recht wohin.
>
> Ich habe schon etwas recherchiert und komme zu
> gegensätzlichen Ergebnissen:
>
> - Ich finde Beweise dafür, dass aus der Defintion der
> Differenzierbarkeit, also dass ein Grenzwert des
> Differenzialquotienten in einem Punkt [mm]x_{0}[/mm] existiert,
> sofort auch die Stetigkeit in eben diesem Punkt [mm]x_{0}[/mm]
> folgt.
So ist es.
>
> - Ich habe die Funktion
>
> f(x) = [mm]x^{2}[/mm] * [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> gefunden, die meines Erachtens überall differenzierbar
> ist, in [mm]x_{0}[/mm] = 0 jedoch nicht stetig ist.
Aussagen über die Stetigkeit/Differenzierbarkeit von f in [mm] x_0=0 [/mm] kann man doch nur machen, wenn klar ist, wie f in [mm] x_0=0 [/mm] def. ist. Das aber hast Du bislang verschwiegen !
>
>
>
> Da, wie ich finde, die Aufgabe förmlich nach einem
> Gegenbeispiel schreit, wollte ich nun die
> Differenzierbarkeit der Funktion f zeigen.
>
> Dass die Funktion [mm]x^{2}[/mm] * [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] in [mm]x_{0}[/mm] = 0
> differenzierbar ist, habe ich bereits geprüft,
Wie denn, wenn nicht klar ist, was f(0) ist ????
FRED
> doch wie
> zeige ich, dass sie dies auch für alle anderen [mm]x_{0} \in \IR[/mm]
> ist?
>
>
>
> Ich weiß, dass das Produkt differenzierbarer Funktionen
> wieder differenzierbar ist:
>
> Für [mm]x^{2}[/mm] erhalte ich aus dem Differenzialquotient:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(x+h)^{2}-(x)^{2}}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{2xh - h^{2}}{h}[/mm] = 2x
>
> Wie zeige ich hieraus nun, dass 2x überall einen Grenzwert
> besitzt und der links- bzw. der rechtsseitige Grenzwert
> gleich sind?
>
> Beim [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] komme ich nicht so recht weiter, wir
> hatten bisher nur gehabt, dass sin(x) differenzierbar ist:
>
> [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] = [mm]\bruch{sin(\bruch{1}{x+h}) - sin(\bruch{1}{x})}{h}[/mm]
> = [mm]\bruch{sin(1/x + 1/h) - sin(\bruch{1}{x})}{h}[/mm]
>
> und jetzt vielleicht Additionstheoreme?
>
>
> Es wäre super, wenn hier jemand rüberschauen könnte und
> mir eventuell Tipps zum weiteren Vorgehen geben könnte.
>
> Liebe Grüße
>
> Palaver
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Di 13.01.2015 | | Autor: | Palaver |
Leider falsch editiert :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Di 13.01.2015 | | Autor: | Palaver |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort! Du hast natürlich vollkommen recht, die Funktion
f(x) = [mm] x^{2}* sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
ist für [mm] x_{0} [/mm] = 0 natürlich gar nicht definiert.
Man betrachte also die Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{} \\ x^{2}* sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Diese ist nun auch endlich für alle [mm] x_{0} \in \IR [/mm] definiert!
Bleiben jedoch leider meine alten Probleme:
Wie genau schaffe ich es zu zeigen, dass
a) g(x) = [mm] x^{2} [/mm] auf ganz [mm] \IR \backslash [/mm] {0} differenzierbar ist, wenn ich durch den Differentialquotienten 2x erhalte
Hier gehe ich einfach davon aus, dass, falls ich bei f'(x) = 2x ein beliebiges x [mm] \in \IR [/mm] einsetze, ich auch einen Grenzwert ungleich [mm] \pm \infty [/mm] erhalte, und dieser somit existiert.
b) h(x) = sin(1/x) auf ganz [mm] \IR \backslash [/mm] {0} differenzierbar ist, wobei ich ab
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{sin(\bruch{1}{x+h})- sin(\bruch{1}{x})}{h}
[/mm]
nicht mehr so recht weiterkomme?
Ich weiß bisher nur, dass der sin(x) auf ganz [mm] \IR \backslash [/mm] {0} differenzierbar ist, kann man dann diese Annahme einfach auf [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] übertragen?
Ich hoffe, Du kannst mir noch ein weiteres mal helfen!
Liebe Grüße
Palaver
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Di 13.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Palaver und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Man betrachte also die Funktion:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{} \\ x^{2}* sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
[mm] $f\$ [/mm] ist für [mm] x\not=0 [/mm] als Funktion differenzierbarer Funktionen dif-
ferenzierbar. Für [mm] $x=0\$ [/mm] sei [mm] $(x_n)\$ [/mm] eine Folge mit [mm] x_n\not=0 [/mm] und [mm] $x_n\to [/mm] 0$,
dann ist
[mm] \frac{f(x_n)-f(0)}{x_n-0}=x_n*\sin(\frac{1}{x_n}).
[/mm]
Jetzt fehlt die Begründung für
[mm] $x_n*\sin(\frac{1}{x_n})\to [/mm] 0$,
und die Angabe von [mm] $f'\$ [/mm] (It's your turn!).
(Alternativ kannst du natürlich auch
[mm] $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sin(\frac{1}{x})-0}{x-0}=x*\sin(\frac{1}{x})\to [/mm] 0$ für [mm] $x\to [/mm] 0$
schreiben. Geschmackssache. Ansonsten ist noch interessant,
dass [mm] $f\$ [/mm] nicht stetig differenzierbar ist.)
> Wie genau schaffe ich es zu zeigen, dass
>
> a) g(x) = [mm]x^{2}[/mm] auf ganz [mm]\IR \backslash[/mm] {0} differenzierbar
> ist, wenn ich durch den Differentialquotienten 2x erhalte
>
> Hier gehe ich einfach davon aus, dass, falls ich bei f'(x)
> = 2x ein beliebiges x [mm]\in \IR[/mm] einsetze, ich auch einen
> Grenzwert ungleich [mm]\pm \infty[/mm] erhalte, und dieser somit
> existiert.
[mm] $g\$ [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] als Funktion differenzierbarer Funktionen
differenzierbar. Es existiert(!) nämlich für alle(!) [mm] x_0\in\IR
[/mm]
[mm] \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}(x+x_0)=x_0+x_0=2x_0.
[/mm]
Aus diesem Grund setzen wir
[mm] $g'(x):=2x\$ [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Ich denke, dass du das nun verstanden hast.
> b) h(x) = sin(1/x) auf ganz [mm]\IR \backslash[/mm] {0}
> differenzierbar ist, wobei ich ab
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{sin(\bruch{1}{x+h})- sin(\bruch{1}{x})}{h}[/mm]
Was machst du hier wieder? [mm] $h\$ [/mm] ist als Funktion differenzierbarer
Funktionen auf [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] differenzierbar.
> nicht mehr so recht weiterkomme?
>
> Ich weiß bisher nur, dass der sin(x) auf ganz [mm]\IR \backslash[/mm]
> {0} differenzierbar ist,
Die Sinusfunktion ist auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar!
> kann man dann diese Annahme einfach auf [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] übertragen?
Ja, wobei hier für [mm] x\not=0. [/mm] Für [mm] $x=0\$ [/mm] ist [mm] $h\$ [/mm] nicht definiert.
Falls du die Differenzierbarkeit von [mm] $f\$ [/mm] und [mm] $h\$ [/mm] auf [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] explizit
zeigen willst, dann kannst du das gerne tun, aber ich würde mit
[mm] $h\$ [/mm] anfangen. Beachte: du hast weiterhin [mm] $h\$ [/mm] nur auf [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] definiert.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Di 13.01.2015 | | Autor: | Palaver |
Hey,
vielen Dank auch für Deine Antwort.
Ich glaube ich habe das jetzt bis zur Differenzierbarkeit alles hinbekommen, indem ich darüber argumentiert habe, dass das Produkt und die Komposition von differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar ist.
Nun zu meinem letzten Problem:
Gehe ich denn recht in der Annahme, dass die Funktion
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{ } \\ x^{2} * sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
in [mm] x_{0} [/mm] = 0 unstetig ist?
Ich hatte vor, da über das Folgenkriterium heranzugehen:
Die Funktion lässt sich ja in das Produkt von [mm] x^{2} [/mm] und [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] aufteilen.
Ich wíll nun so argumentieren, dass [mm] x^{2} [/mm] zwar in 0 stetig ist, die Funktion
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{} \\ sin(\bruch{1}{x}) , & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
in [mm] x_{0} [/mm] = 0 jedoch nicht, da ich zwei Folgen [mm] {x_{n}} [/mm] und [mm] {y_{n}} [/mm] finden kann, für die gilt [mm] f({x_{n}}) \not= f({y_{n}}) \not= f(x_{0})
[/mm]
mit [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\pi*n + \pi/2} [/mm] und [mm] y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\pi*n - \pi/2}
[/mm]
Kann ich da so vorgehen, also so argumentieren, dass das Produkt einer stetigen Funktion [mm] (x^{2}) [/mm] und einer nicht stetigen [mm] (sin(\bruch{1}{x}) [/mm] wiederum nicht stetig ist, in [mm] x_{0} [/mm] = 0?
Liebe Grüße
Palaver
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Di 13.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
>
> vielen Dank auch für Deine Antwort.
>
> Ich glaube ich habe das jetzt bis zur Differenzierbarkeit
> alles hinbekommen, indem ich darüber argumentiert habe,
> dass das Produkt und die Komposition von differenzierbaren
> Funktionen wieder differenzierbar ist.
>
> Nun zu meinem letzten Problem:
>
> Gehe ich denn recht in der Annahme, dass die Funktion
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{ } \\ x^{2} * sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> in [mm]x_{0}[/mm] = 0 unstetig ist?
Nein, das stimmt nicht. f ist in [mm] x_0=0 [/mm] stetig: es gilt
$|f(x)| [mm] \le x^2$ [/mm] für alle x,
somit haben wir
[mm] $\limes_{x \rightarrow 0}f(x)=0=f(0)$.
[/mm]
>
>
>
> Ich hatte vor, da über das Folgenkriterium heranzugehen:
>
> Die Funktion lässt sich ja in das Produkt von [mm]x^{2}[/mm] und
> [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] aufteilen.
> Ich wíll nun so argumentieren, dass [mm]x^{2}[/mm] zwar in 0
> stetig ist, die Funktion
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{} \\ sin(\bruch{1}{x}) , & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> in [mm]x_{0}[/mm] = 0 jedoch nicht, da ich zwei Folgen [mm]{x_{n}}[/mm] und
> [mm]{y_{n}}[/mm] finden kann, für die gilt [mm]f({x_{n}}) \not= f({y_{n}}) \not= f(x_{0})[/mm]
>
> mit [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2*\pi*n + \pi/2}[/mm] und [mm]y_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2*\pi*n - \pi/2}[/mm]
Diese Überlegungen sind alle richtig.
>
>
> Kann ich da so vorgehen, also so argumentieren, dass das
> Produkt einer stetigen Funktion [mm](x^{2})[/mm] und einer nicht
> stetigen [mm](sin(\bruch{1}{x})[/mm] wiederum nicht stetig ist, in
> [mm]x_{0}[/mm] = 0?
Wie Du gesehen hast, kannst Du eben so nicht argumentieren !
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Palaver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Di 13.01.2015 | | Autor: | Palaver |
Hallo,
das heißt, es gibt gar keine Funktion, die überall differenzierbar und nicht überall stetig ist?
Beziehungsweise, um die Frage aus meiner Aufgabe aufzugreifen:
Es gibt keine differenzierbare Funktion, die nicht stetig ist, wenn man die Forderung nach Stetigkeit in:
"Es sei D eine offene Menge in [mm] \IR [/mm] oder in [mm] \IC. [/mm] Sei f: D [mm] \to \IR [/mm] stetig und [mm] x_{0} \in [/mm] D. Für 0 [mm] \not= [/mm] h [mm] \in \IR, [/mm] mit [mm] x_{0}+h \in [/mm] D sei
f'(x) = [mm] \bruch{f(x_{0} + h)- f(x_{0})}{h}
[/mm]
der Differenzenquotient von f im Punkt [mm] x_{0} [/mm] zur Differenz h."
weglässt?
Ich dachte, ich hätte in einem anderen Forum gelesen, dass dies eben genau auf meine Funktion f zutreffe...
Grüße
Palaver
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Di 13.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> das heißt, es gibt gar keine Funktion, die überall
> differenzierbar und nicht überall stetig ist?
Solch eine Funktion gibt es nicht ! Denn aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit !
>
> Beziehungsweise, um die Frage aus meiner Aufgabe
> aufzugreifen:
>
> Es gibt keine differenzierbare Funktion, die nicht stetig
> ist, wenn man die Forderung nach Stetigkeit in:
>
> "Es sei D eine offene Menge in [mm]\IR[/mm] oder in [mm]\IC.[/mm] Sei f: D
> [mm]\to \IR[/mm] stetig und [mm]x_{0} \in[/mm] D. Für 0 [mm]\not=[/mm] h [mm]\in \IR,[/mm] mit
> [mm]x_{0}+h \in[/mm] D sei
>
> f'(x) = [mm]\bruch{f(x_{0} + h)- f(x_{0})}{h}[/mm]
Das ist doch völliger Quark !
Der Quotient
[mm]\bruch{f(x_{0} + h)- f(x_{0})}{h}[/mm]
heißt Differenzenquotient. Ihn mit f'(x) zu bezeichnen, ist völlig bescheuert.
Um diesen Quotienten hinzuschreiben, muss ich doch f nicht als stetig auf D voraussetzen !!! Welche Vollpfosten hat denn das geschrieben ??
>
> der Differenzenquotient von f im Punkt [mm]x_{0}[/mm] zur Differenz
> h."
>
> weglässt?
>
> Ich dachte, ich hätte in einem anderen Forum gelesen, dass
> dies eben genau auf meine Funktion f zutreffe...
Stellen wir die Sache mal klar:
Sei f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und sei [mm] x_0 \in [/mm] D .
f heißt in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
in [mm] \IR [/mm] existiert. In diesem Fall heißt der obige Limes die Ableitung von f in [mm] x_0 [/mm] und wird mit [mm] f'(x_0) [/mm] bez. .
SATZ: ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, so ist f in [mm] x_0 [/mm] stetig.
Beweis:
$ [mm] f(x_0+h)-f(x_0)=\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}*h \to f'(x_0)*0=0$ [/mm] ($h [mm] \to [/mm] 0$)
Also: [mm] f(x_0+h) \to f(x_0) [/mm] ($h [mm] \to [/mm] 0$)
FRED
>
> Grüße
>
> Palaver
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