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| Aufgabe | Die Gesamtkosten K (in ) bei der Produktion von x Mengeneinheiten einer Ware sind erfahrungsgemäß gegeben durch K(x)=x³-15x²+125x+375. Bei dem Preis p=150 (in ) pro Mengeneinheit ist U die Umsatzfunktion mit U(x)=150x.
a) Zeichnen Sie die Graphen von K und U in ein gemeinsames Koordinatensystem. Bestimmen Sie die Gewinnzone des Unternehmens.
b)Bei welcher Produktionsmenge [mm] x_0 [/mm] ergibt sich der maximale Gewinn?
c) Zeigen Sie, dass p=K'($ [mm] x_0 [/mm] $) ist. Interpretieren Sie diesen Zusammenhang am Graphen. |
Ich habe die Graphen gezeichnet und komme jetzt überhaupt nichtmehr weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 So 24.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo auch.
b)
Der maximalste Gewinn ist da, wo U(x) höher als K(x) liegt und wo die beiden Grafen den größten Abstand voneinander haben.
Den Abstand berechnet man ja durch U(x)-K(x). Und dieser soll maximal werden.
G(x)=U(x)-K(x) (G(x) ist jetzt meine Gewinnfunktion, von der man ja das Maximum ausrechnen soll)
G(x)=150x-(x³-15x²+125x+375)
G(x)=150x-x³+15x²-125x-375
G(x)=-x³+15x²+25x-375
G(x) müsstest du nun ableiten und 0 setzen, um das Maximum des Gewinnes herauszubekommen!
G'(x)=-3x²+30x+25
0=-3x²+30x+25
Mit p-q-Formel löst du das dann und erhälst dann eventuell 2 Werte, bei denen die Gewinnfunktion extrem wird. Aber welcher davon ist nun der richtige? Dazu musst du beide Werte einmal in G''(x) einsetzen. Bei dem x-Wert, bei dem G''(x) negativ wird, hast du einen Hochpunkt. Oder du schließt den einen x-Wert schon aus, da er unter 0 liegt und man ja nicht unter 0 Mengeneinheiten herstellen kann ;)
c)
K(x) ableiten und dein gefundenes Ergebnis einsetzen.
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Aber ich verstehe nicht den Zusammenhang:
Warum ist [mm] K(x_0) [/mm] = 150?
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Hallo Dr.Prof.Niemand!
> Aber ich verstehe nicht den Zusammenhang:
> Warum ist [mm]K(x_0)[/mm] = 150?
Das ist so nicht richtig. Du sollst nicht nachweisen, daß [mm]K(x_{0})=150[/mm], sondern daß [mm]K'(x_{0})=150[/mm] gilt.
[mm]K'(x_{0})=150[/mm] ist hervorgegangen aus dem Kriterium für die Ermittlung des maximalen Gewinns: [mm]K'(x)=U'(x)[/mm]
Das bedeutet, daß der Gewinn dann maximal wird, wenn die Grenzkosten gleich den Grenzumsätzen sind (oder analog dazu: wenn der Grenzgewinn=0 ist). Grenzkosten sind dabei die Kosten die für die zuletzt hergestellte Einheit anfallen (nicht verwechseln mit Stückkosten!). Der Grenzumsatz ist der Umsatz, der für die zuletzt produzierte Einheit erzielt wird. Da du eine lineare Umsatzfunktion vorliegen hast, ist der Grenzumsatz mit 150 Euro immer konstant. Der Gewinn wird dann maximal, wenn eben die zuletzt produzierte Einheit genauso viel Umsatz bringt, wie sie gekostet hat. In allen anderen Fällen sind die Grenzkosten größer als der Grenzumsatz und somit der Grenzgewinn nicht 0 (also ist der Gewinn nicht maximal).
Rechnerisch hast du dies schon ermittelt, indem du [mm] x_{0} [/mm] mit [mm]K'(x)=U'(x)[/mm] bzw. [mm]G'(x)=0[/mm] gesetzt und [mm] x_{0} [/mm] berechnet hast.
Grafisch löst du dies, indem du die Umsatzfunktion (die lineare Funktion) solange parallel in Richtung der Kostenfunktion K(x) verschiebst, bis K(x) nur noch tangiert wird (also in einem Punkt geschnitten wird). In diesem Punkt kannst du [mm] x_{0} [/mm] dann am Graphen ablesen. [mm]K'(x)=U'(x)[/mm] bedeutet mathematisch lediglich nichts anderes, als das die Anstiege der Funktionen gleich sein müssen - deshalb ist die geometrische Konstruktion möglich (funktioniert allerdings nur bei liniearen Umsatzfunktionen so schön einfach).
Soweit verstanden?
Gruß,
Tommy
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