Diffeomorphismus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Takeela |
Guten Tag,
ich habe folgende Frage zu Diffeomorphismen:
Angenommen ich habe eine Funktion [mm]f[/mm] und ich soll den maximalen Definitionsbereich [mm]D[/mm] ermitteln, sodass[mm] f(D)[/mm] ein Diffeomorphismus ist. Reicht es, die Determinante der Jacobi-Matrix auszurechnen und anhand dieser [mm]D[/mm] zu bestimmen (genau so, dass [mm]det D \not = 0[/mm]) und nachzuweisen, dass [mm]f[/mm] und [mm]f^{-1}[/mm] [mm]C^{1}[/mm]-Abbildungen sind? Oder muss ich einen Umweg gehen und es über den expliziten Beweis der Bijektivität vornehmen?
Ich frage, weil ich eine Übungsaufgabe noch einmal durchgehen wollte und wir dort [mm]D[/mm] recht umständlich über die Surjektivität und Injektivität von [mm]f[/mm] ermittelt haben.
Herzlichen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Takeela |
Es fällt mir ein, dass ich bezüglich einiger Begrifflichkeiten noch unsicher bin (ich hatte noch keine Lineare Algebra...)
Der lokale Umkehrsatz besagt, dass eine [mm]C^{1}[/mm]-Abbildung [mm]f[/mm] genau dann ein lokaler Diffeomorphismus in einem Punkt [mm]p[/mm] ist, wenn [mm]df_{p}[/mm] ein Isomorphismus ist.
Der Begriff Isomorphismus verursacht einige Verständnisschwierigkeiten. Zur Überprüfung, ob ich richtig liege, tippe ich hier mal meine "Impressionen":
[mm]df_{p}[/mm] ist Isomorphismus
[mm] \gdw[/mm] [mm]df_{p}[/mm] bijektiv ist
[mm] \gdw[/mm] [mm]df_{p}[/mm] hat vollen Rang
[mm] \gdw [/mm] det[mm]df_{p} \not= 0[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ker[mm]df_{p} = 0[/mm] nur der Nullvektor ist
Verstehe ich das alles richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Sa 03.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Der Begriff Isomorphismus verursacht einige
> Verständnisschwierigkeiten. Zur Überprüfung, ob ich
> richtig liege, tippe ich hier mal meine "Impressionen":
>
> [mm]df_{p}[/mm] ist Isomorphismus
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]df_{p}[/mm] bijektiv ist
> [mm]\gdw[/mm] [mm]df_{p}[/mm] hat vollen Rang
> [mm]\gdw[/mm] det[mm]df_{p} \not= 0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] ker[mm]df_{p} = 0[/mm] nur der
> Nullvektor ist
Korrekt. Vergiss nicht, dass [mm] $df_p$ [/mm] zusätzlich eine lineare Abbildung ist (das ist keine Forderung, sondern steht schon in der Definition der Ableitung), nur so machen die Begriffe Rang und Determinante überhaupt Sinn. War dir sicher klar.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Sa 03.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Du musst auf jeden Fall Injektivität und Surjektivität prüfen. Der Satz über die Umkehrabbildung garantiert lediglich lokale Bijektivität, und das reicht nicht. Zum Beispiel ist [mm] $\arctan:\IR\to\IR$ [/mm] überall lokal umkehrbar, aber nicht surjektiv. Ein lehrreicheres Beispiel wäre natürlich, wenn es global nicht injektiv ist, vielleicht findest du auch da was 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Takeela |
Herzlichen Dank!
Jetzt ist mir das wieder sehr klar verständlich! :)
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