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| Aufgabe | Hallo, ich habe hier folgende Funktion:
[mm] $f\colon \Omega\to [/mm] M$ mit [mm] $\Omega:=\mathbb{R}^n\setminus\overline{B}_r(0)$ [/mm] mit $r>0$ und $n>1$ sowie [mm] $M:=B_r(0)\setminus\left\{0\right\}$
[/mm]
und
[mm] $y=f(x):=\frac{r^2}{\lVert x\rVert^2}x$ [/mm] für [mm] $r<\lVert x\rVert$
[/mm]
Folgende Aufgabe:
Zeige, dass f eine Diffeomorphie ist und finde die zu f inverse Abbildung
Ein Hinweis ist auch gegeben, nämlich: Man sollte hier geschickt die n-dimensionalen Kugelkoordinaten anwenden. |
Also zeigen muss ich doch:
1.) f ist bijektiv
2.) f ist stetig differenzierbar
3.) Die inverse Abbildung ist auch stetig differenzierbar
Wie kann ich das alles zeigen und den Hinweis nutzen?
(Das Wort "geschickt" schreckt mich etwas ab, da ich generell bei sowas ungeschickt bin...)
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Was die Bijektivität und die inverse Abbildung betrifft, habe ich mittlerweile herausgefunden, dass die Funktion f selbstinvers ist.
Also ist f bijektiv und die Inverse von f ist f selbst.
Bleibt noch zu zeigen, dass f stetig differenzierbar ist.
Brauche ich dafür vielleicht nun den Tipp, die n-dim. Kugelkoordinaten zu benutzen?
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Wie lässt sich die obige Funktion f in n-dimensionalen Kugelkoordinaten umschreiben?
Ich habe mir überlegt, dass ja die Funktion f nur den Abstand des Punktes zur Null verändert und dass, wenn man alles in n-dim. Kugelkoordinaten darstellt, sich nur die erste Koordinate (eben der Radius) verändert.
Ich weiß nicht, ob das vielleicht der Grund ist, dass man n-dim. Kugelkoordinaten nutzen soll.
Allerdings sehe ich noch nicht genau, inwiefern das den Beweis vereinfacht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Fr 06.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe hier folgende Funktion:
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> [mm]f\colon \Omega\to M[/mm] mit
> [mm]\Omega:=\mathbb{R}^n\setminus\overline{B}_r(0)[/mm] mit [mm]r>0[/mm] und
> [mm]n>1[/mm] sowie [mm]M:=B_r(0)\setminus\left\{0\right\}[/mm]
>
> und
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> [mm]y=f(x):=\frac{r^2}{\lVert x\rVert^2}x[/mm] für [mm]r<\lVert x\rVert[/mm]
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> Folgende Aufgabe:
>
> Zeige, dass f eine Diffeomorphie ist und finde die zu f
> inverse Abbildung
>
>
> Ein Hinweis ist auch gegeben, nämlich: Man sollte hier
> geschickt die n-dimensionalen Kugelkoordinaten anwenden.
>
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>
> Also zeigen muss ich doch:
>
> 1.) f ist bijektiv
> 2.) f ist stetig differenzierbar
> 3.) Die inverse Abbildung ist auch stetig differenzierbar
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> Wie kann ich das alles zeigen und den Hinweis nutzen?
>
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> (Das Wort "geschickt" schreckt mich etwas ab, da ich
> generell bei sowas ungeschickt bin...)
Oben hast Du gesagt, dass Du die Bijektivität von f schon gezeigt hast. Schön.
Weiter ist
(*) [mm] $f^{-1}(y)=\bruch{r^2}{||y||^2}*y$ [/mm] für $0< ||y||<r$
Dass f stetig differenzierbar ist, sieht man, wenn man die Matrix f'(x) ausrechnet (was einfach ist). Die Einträge in f'(x) sind stetige Funktionen von x.
Wegen (*) hat man dann auch, dass [mm] f^{-1} [/mm] stetig differenzierbar ist.
Da alle Rechnungen relativ einfach sind, sehe ich nicht wozu man n-dimensionale Kugelkoordinaten bemühen sollte.
FRED
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Hallo, fred97!
Vielen Dank für Ihre Antwort!
Ich möchte Sie gerne fragen, ob der folgende Beweis, den ich jetzt doch mittels n-dim. Kugelkoordinaten versucht habe, in Ordnung ist.
[mm] \textbf{Beweis mit Kugelkoordinaten}
[/mm]
Die gegebene Funktion $f$ läß sich mit n-dim. Kugelkoordinaten alternativ ausdrücken durch
[mm] $\varphi(S,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})\longmapsto \varphi(R^2/S,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})$,
[/mm]
wobei [mm] $\varphi$ [/mm] die Transformation auf Kugelkoordinaten bezeichne und $S>R$ sei.
Nun ist zu zeigen, daß $f$ eine Diffeomorphie darstellt und es ist die Inverse zu $f$ anzugeben.
[mm] \textit{Bijektivität und Inverse}:
[/mm]
$f$ ist selbstinvers, denn
[mm] $f(\varphi(R^2/S,\Phi_1,\ldots,\Phi_{n-1}))=\varphi(S,\Phi_1,\ldots,\Phi_{n-1})$.
[/mm]
Daraus folgt die Bijektivität von $f$ und man hat auch schon die Inverse von $f$, denn es ist [mm] $f=f^{-1}$.
[/mm]
Bleibt noch zu zeigen, dass $f$ stetig differenzierbar ist.
[mm] \textit{Stetige Differenzierbarkeit}:
[/mm]
Hierfür kann man, denke ich, nutzen, dass man $f$ als Komposition zweier stetig differenzierbarer Funktionen schreiben kann, nämlich als
[mm] $f=\varphi\circ [/mm] T$,
wobei [mm] $\varphi$ [/mm] die obige Transformation auf Kugelkoordinaten ist, die stetig differenzierbar ist, da jede Koordinatenfunktion [mm] $\varphi_1,\ldots\varphi_n$ [/mm] dies ist, und ich mit T die Abbildung [mm] $(S,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})\mapsto (R^2/S,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})$ [/mm] meine. $T$ ist ebenfalls stetig differenzierbar, da wiederum jede Komponentenfunktion [mm] $T_1,\ldots,T_n$ [/mm] stetig differenzierbar ist.
Insgesamt ist also gezeigt:
$f$ ist eine Bijektion und $f$ (und damit hier auch [mm] $f^{-1}$) [/mm] ist stetig differenzierbar. Somit ist $f$ eine Diffeomorphie. Die Inverse von $f$ ist $f$ selbst.
[mm] $\Box$
[/mm]
Viele Grüße
sick_of_math
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 08.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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