Differenbarkeit von Verket < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Sa 31.05.2008 | | Autor: | julian_ |
| Aufgabe | Es seien [mm] D\subset K^n [/mm] offen und [mm] f,g:D\to [/mm] K zwei Funktionen. Ferner sei a [mm] \in [/mm] D ein Punkt, so dass f stetig in a und g differenzierbar in a mit g(a)=0 ist.
Zeige, dass f*g dann in a differenzierbar ist mit (f*g)'(a)=f(a)*g'(a). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wollte fragen ob ihr mir ein paar Tipps geben könnt.
g ist diffbar in a [mm] \Rightarrow [/mm] g ist stetig in a
[mm] f'(g(a))=lim_{x\to a}(f(g(x))-f(g(a)))/(x-a)=lim_{x\to a}(f(g(x))-f(0))/(x-a)
[/mm]
Ich muss wohl zeigen dass dieser Grenzwert existiert.
Kann ich das mit den Epsilonumgebungen zeigen?
f(0)=D und D ist eine Epsilonumgebung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Sa 31.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es seien [mm]D\subset K^n[/mm] offen und [mm]f,g:D\to[/mm] K zwei
> Funktionen. Ferner sei a [mm]\in[/mm] D ein Punkt, so dass f stetig
> in a und g differenzierbar in a mit g(a)=0 ist.
> Zeige, dass f*g dann in a differenzierbar ist mit
> (f*g)'(a)=f(a)*g'(a).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wollte fragen ob ihr mir ein paar Tipps geben könnt.
> g ist diffbar in a [mm]\Rightarrow[/mm] g ist stetig in a
>
> [mm]f'(g(a))=lim_{x\to a}(f(g(x))-f(g(a)))/(x-a)=lim_{x\to a}(f(g(x))-f(0))/(x-a)[/mm]
Ich glaube, du hast die Aufgabe falsch verstanden. Die ergibt nur Sinn, wenn es um das Produkt [mm] $f\cdot [/mm] g$ geht, nicht um die Verkettung. Für die Verkettung müsste ja $g(a)=a$ sein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Sa 31.05.2008 | | Autor: | julian_ |
ok danke das hat schonmal geholfen
jetzt habe ich 2 Terme
[mm] f'(a)*g'(a)=lim_{x\to a}(f(x)g(x)-f(a)g(a))/(x-a)
[/mm]
[mm] =lim_{x\to a}\bruch{f(x)g(x)}{x-a}
[/mm]
und
[mm] f(a)g'(a)=f(a)lim_{x\to a}\bruch{g(x)-g(a)}{x-a}=f(a)lim_{x\to a}\bruch{g(x)}{x-a}
[/mm]
wenn man nun beim ersten Term das f(x) als g(a) vor den limes schreibt sähe das schonmal gut aus (geht das so einfach?)
und wie beweise ich dann die Differenzierbarkeit von g(x)?
edit: ok es steht ja in der aufgabenstellung g ist in a differenzierbar
dann ist jetzt eigentlich alles klar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:27 So 01.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ok danke das hat schonmal geholfen
> jetzt habe ich 2 Terme
> [mm]f'(a)*g'(a)=lim_{x\to a}(f(x)g(x)-f(a)g(a))/(x-a)[/mm]
Du meinst wohl eher $(f * g)'(a) = ...$, oder?!
> [mm]=lim_{x\to a}\bruch{f(x)g(x)}{x-a}[/mm]
> und
> [mm]f(a)g'(a)=f(a)lim_{x\to a}\bruch{g(x)-g(a)}{x-a}=f(a)lim_{x\to a}\bruch{g(x)}{x-a}[/mm]
>
> wenn man nun beim ersten Term das f(x) als g(a) vor den
> limes schreibt sähe das schonmal gut aus (geht das so
> einfach?)
Ja. Du benutzt hier, dass $f$ stetig in $a$ ist und dass die Funktion [mm] $\frac{g(x)}{x - a}$ [/mm] stetig in $a$ ist (wenn man sie in $x = a$ mit $g'(a)$ fortsetzt).
> und wie beweise ich dann die Differenzierbarkeit von
> g(x)?
>
> edit: ok es steht ja in der aufgabenstellung g ist in a
> differenzierbar
> dann ist jetzt eigentlich alles klar
Genau...
LG Felix
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