Differentation Nullstellen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mangan |
| Aufgabe | Die Funktion [mm]f[/mm] sei in [mm] \left[a,b\right] [/mm] diffbar und für alle [mm] x\in\left[ a,b \right] [/mm] gelte:
[mm] \left|f(x)\right|+\left| f'(x) \right|\ne0
[/mm]
Beweise, dass [mm]f[/mm] in [mm] \left[a,b \right] [/mm] nur endlich viele Nullstellen, wobei [mm]f'[/mm] nicht als stetig vorrausgestzt wird. |
Hallo an alle die sich versuchen.
Mein Ansatz war:
Ang. es gäbe unendlich Nullstellen:
ObdA abzählbar.
Also gibt es eine Folge [mm] \left( x_n \right) [/mm] aus Nullstellen. Diese konvergiert gegen [mm]x_0[/mm]. Da [mm]f[/mm] diffbar, so auch stetig. Da [mm]f(x_n)[/mm] gegen 0 konvergiert gilt: [mm]f(x_0)=0[/mm].
Nun gibt es zwischen den Nullstellen immer [mm] x_m [/mm] deren Ableitung 0 ist.
Die Folge [mm] x_m [/mm] konvergiert ebenso gegen [mm] x_0.
[/mm]
Meine Folgerung war, damit ist [mm] f(x_0)=0 [/mm] und [mm] f'(x_O)=0, [/mm] was im Widerspruch zur Annahme steht.
Nun bin ich mir aber in der letzten Schlussfolgerung nicht sicher. Kann man aus Obrigen Dingen dies folgern, oder nicht.
Wäre auch nett, andere Ansätze zu liefern, falls ich mich gerade in einer Sackgasse befinde.
Danke Mangan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ang. es gäbe unendlich Nullstellen:
> ObdA abzählbar.
>
> Also gibt es eine Folge [mm]\left( x_n \right)[/mm] aus Nullstellen.
> Diese konvergiert gegen [mm]x_0[/mm].
Korrekt - aber wieso gibt es die?
> Da [mm]f[/mm] diffbar, so auch stetig.
> Da [mm]f(x_n)[/mm] gegen 0 konvergiert gilt: [mm]f(x_0)=0[/mm].
Ja.
> Nun gibt es zwischen den Nullstellen immer [mm]x_m[/mm] deren
> Ableitung 0 ist.
> Die Folge [mm]x_m[/mm] konvergiert ebenso gegen [mm]x_0.[/mm]
Das stimmt - aber wieso willst du jetzt ...
> Meine Folgerung war, damit ist [mm]f(x_0)=0[/mm] und [mm]f'(x_O)=0,[/mm] was
> im Widerspruch zur Annahme steht.
... folgern? f' ist nicht stetig! Versuche doch den Diff.quotienten in [m]x_0[/m] zu betrachten!
Was ich noch fragen möchte: wie ist eigentlich die Ableitung in den Randpunkten erklärt? Irgendwie muss da ja auch die Ebdingung gelten ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mangan |
Danke für die Antwort!
Aufgabe ist vollständig. Mehr Infos gibt es nicht.
meine Überlegung war:
0 [mm] \le \left| x_m - x_0 \right| \le \left| x_n - x_0 \right|. [/mm]
Daraus folgt [mm] \left| f(x_m) \right| [/mm] konvergiert gg. 0; Also gilt für den extrempunkt [mm] x_0:[/mm] [mm]f(x)=0, f'(x)=0[/mm]
Zum Diff-Quotient: Habe ich auch schon überlegt, leider bin ich zu keinem Ergebniss gekommen. Wäre also nochmal dankbar, wenn ich nochmal Hilfe bekommen würde.
Mangan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mi 21.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Also wenn du eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Nullstellen hast, dann ist ja erstmal gar nicht klar warum die gegen ein [mm] x_0 [/mm] konvergieren soll. Warum können wir das in diesem Fall ohne Einschränkung trotzdem annehmen? Naja jedenfalls ist f ja stetig, also konvergiert auch [mm] $0=f(x_n)$ [/mm] gegen [mm] $f(x_0)$, [/mm] d.h. [mm] $f(x_0)=0$. [/mm] Wenn wir zeigen könnten, dass auch [mm] $f'(x_0)=0$ [/mm] ist, wären wir fertig.
Betrachte doch also mal [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}$... [/mm] was hat das mit $f'(x)$ zu tun? Beachte, dass du hier noch [mm] $x_n\ne x_0$ [/mm] für alle n fordern musst!
Die Idee mit dem Mittelwertsatz bzw Satz von Rolle zu der Folge von Nullstellen der Ableitung überzugehen ist natürlich auch nicht schlecht, nützt dir aber in dem Fall gar nix, weil du nicht weißt ob $f'$ in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist,
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Do 22.01.2009 | | Autor: | Mangan |
Hm, probier ich mal:
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0} [/mm] = [mm] f'(x_0)
[/mm]
bleibt also:
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{x_n-x_0} [/mm]
Gzz: der verläuft gg 0.
Aber genau da ist mein Problem. Vll sehe ich jetzt den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Ich denke nochmal drüber nach.
Mangan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Fr 23.01.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}[/mm] = [mm]f'(x_0)[/mm]
> bleibt also:
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{x_n-x_0}[/mm]
> Gzz: der verläuft gg 0.
Richtig.
> Aber genau da ist mein Problem. Vll sehe ich jetzt den Wald
> vor lauter Bäumen nicht.
Welche besondere Eigenschaft haben denn die [mm] $x_n$ [/mm] in Bezug auf $f$?
Gruß, Robert
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